Beweis
Es gelte
-
mit einer
Lipschitz-Konstanten
.
Zunächst ist für jeden Würfel
-
mit der Kantenlänge das Bild in einem Ball mit einem Radius enthalten. Daher gibt es ein
(von unabhängiges)
mit
-
für alle Würfel. Diese Abschätzung gilt dann auch für alle Quader, da diese beliebig nahe durch Vereinigungen von Würfeln approximiert werden können.
Da eine
messbare
Nullmenge
ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des
Borel-Lebesgue-Maßes
über das
äußere Maß
zu jedem
eine
abzählbare Überpflasterung
-
mit Quadern und mit
-
Daher gilt
und somit
-
Da man beliebig klein wählen kann, muss eine
Nullmenge
sein.