Lipschitz-stetige Abbildung/Verhalten von Nullmengen/Fakt/Beweis

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Beweis

Es gelte

mit einer Lipschitz-Konstanten. Zunächst ist für jeden Würfel mit der Kantenlänge das Bild in einem Ball mit einem Radius enthalten. Daher gibt es ein mit

für alle Würfel. Diese Abschätzung gilt dann auch für alle Quader, da diese beliebig nahe durch Vereinigungen von Würfeln approximiert werden können.

Da eine messbare Nullmenge ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des Borel-Lebesgue-Maßes über das äußere Maß zu jedem eine abzählbare Überpflasterung

mit Quadern und mit
Daher gilt und somit

Da man beliebig klein wählen kann, muss eine Nullmenge sein.