Lokal Faktorielles integres Schema/Invertierbare Untergarben/Weildivisoren/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Es gibt eine endliche offene affine Überdeckung mit

mit , . Nach Fakt gibt es jeweils nur endlich viele irreduzible Weildivisoren in mit

Daher ist in der Tat ein Weildivisor.

Sei umgekehrt ein Weildivisor und die zugehörige Untergarbe der konstanten Garbe zum Funktionenkörper. Es ist zu zeigen, dass diese invertierbar ist. Sei ein Punkt und eine affine offene Umgebung. Im lokalen Ring , der nach Voraussetzung faktoriell ist, ist nach Fakt der Divisor , der aus allen irreduziblen Komponenten von besteht, die durch verlaufen, ein Hauptdivisor. Indem man die Komponenten von , die nicht durch verlaufen, entfernt, kann man durch eine kleinere affine Umgebung von ersetzen, auf der der Divisor ein Hauptdivisor ist. Dort gilt also

mit einem . Es ist dann

Wir müssen nun zeigen, dass diese Zuordnungen invers zueinander sind. Wir beginnen mit einer invertierbaren Untergarbe und übernehmen die Bezeichnungen von oben. Auf ist . Daher gilt für die Zugehörigkeit

genau dann, wenn auf für die Hauptdivisoren die Beziehung

gilt, was wegen Fakt wiederum zu äquivalent ist.

Wenn man mit einem Weildivisor startet, so stimmt dieser lokal mit einem Hauptdivisor überein. Dann erzeugt ein Element des Funktionenkörpers, das diesen Hauptdivisor besitzt, lokal die zugehörige invertierbare Garbe, und dieses Element wird auch verwendet, um den zugehörigen Divisor auszurechnen.

Zur bewiesenen Aussage