Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit ${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist

   ${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

2. Für eine messbare Funktion

   $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

   ist ${}f$ genau dann integrierbar auf ${}H$, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

   ${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$

   wobei ${}J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials ${}D\varphi$ bezeichnet.
3. Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und ${}T\subseteq V$ eine Teilmenge. Dann erzeugt ${}T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in ${}V$, wenn die Eigenschaft

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

   für alle ${}w\in T$ nur für ${}v=0$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe