Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 3/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit ${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist

   ${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

2. Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$ ist das einzige translationsinvariante Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.
3. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

   ${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe