Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Die Funktion

   ${}f_{+}={\operatorname {sup} \,{\left(f,0\right)}}\,$

   heißt der positive Teil von ${}f$.

2. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen ${}T\subseteq N$ durch

   ${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

   definierte Maß auf ${}N$.

3. Ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

   ${}\mu (T)=\mu (T+v)\,$

   gilt.

4. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}$. Dann setzt man

   ${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,{\left(H\right)}}\,$

   und nennt diese Zahl (eventuell ${}+\infty$) den Limes superior der Folge.

5. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$

   eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

   ${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

   ist.

6. Die beiden Kurven ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

   ${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

   gilt.
7. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist für ${}P\in L$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch

   ${}(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$

   definiert.

8. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$-Differentialform

   $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

   die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Zur gelösten Aufgabe