Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Die Funktion

   $f_{+}=\sup (f,0)$

   heißt der positive Teil von $f$.

2. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen $T\subseteq N$ durch

   $\nu (T):=\mu ({\phi }^{-1}(T))$

   definierte Maß auf $N$.

3. Ein Maß auf $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq {ℝ}^n$ und alle Vektoren $v\in {ℝ}^n$ die Gleichheit

   $\mu (T)=\mu (T+v)$

   gilt.

4. Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge $x_n$. Dann setzt man

   $\lim \sup ((x_n{)}_{n\in \mathbb{N}})=\sup \left(H\right)$

   und nennt diese Zahl (eventuell $+\mathrm{\infty }$) den Limes superior der Folge.

5. Ein topologischer Raum $X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i\text{ mit }{U}_i\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }$

   eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass

   $X=\bigcup _{i\in J}{U}_i$

   ist.

6. Die beiden Kurven ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ heißen tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte

   $\alpha :U⟶V$

   mit $V\subseteq {ℝ}^n$ derart gibt, dass

   $(\alpha \circ \left({\gamma }_1{|}_{{\gamma }_1^{-1}(U)}\right))(0)=(\alpha \circ \left({\gamma }_2{|}_{{\gamma }_2^{-1}(U)}\right))(0)$

   gilt.
7. Die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ ist für $P\in L$ und $v_1,\dots ,v_k\in T_{P}L$ durch

   $({\phi }^{\ast }\omega )(P,v_1,\dots ,v_k):=\omega (\phi (P),T_P\phi (v_1),\dots ,T_P\phi (v_k))$

   definiert.

8. Zu $P\in M$ sei ${\omega }_P$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\stackrel{n}{\bigwedge }{T}_P^{\ast }M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform

   $M⟶\stackrel{n}{\bigwedge }{T}^{\ast }M,P⟼{\omega }_P,$

   die kanonische Volumenform auf $M$.

Zur gelösten Aufgabe