Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten ${}U_{j}$, ${}j\in J$, (${}J$ abzählbar) mit

$\alpha _{j}\colon U_{j}\longrightarrow V_{j}$

und mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

(mit ${}\delta _{j}<\epsilon _{j}$) vorliegt derart, dass auch die ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ eine Überdeckung von ${}M$ bilden und dass jeder Punkt ${}P\in M$ nur in endlich vielen der ${}U_{j}$ und insbesondere nur in endlich vielen dieser ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ enthalten ist. Auf ${}V_{j}$ betrachten wir die Funktion ${}g_{j}$, die durch

${}g_{j}(v)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{{\left(\delta _{j}^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}}{\text{ für }}\Vert {v}\Vert <\delta _{j}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert ist. Diese Funktion hat genau auf ${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen positiven Wert und ihr Träger ist ${}B\left(0,\delta _{j}\right)$. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die ${}V_{j}$ überdecken) ${}U{\left(0,\epsilon _{j}\right)}$ und ${}V_{j}\setminus B\left(0,\delta _{j}\right)$ zeigt, dass ${}g_{j}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion

${\tilde {g}}_{j}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

durch

${}{\tilde {g}}_{j}(x)={\begin{cases}g(\alpha _{j}(x)){\text{ für }}x\in \alpha _{j}^{-1}(U{\left(0,\delta _{j}\right)})\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$, da der „Streifen“ ${}B\left(0,\epsilon _{j}\right)\setminus U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{j\in J}{\tilde {g}}_{j}(x)\,,$

wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von ${}{\tilde {g}}_{j}$ in

${}\alpha ^{-1}{\left(B\left(0,\delta _{j}\right)\right)}\subset U_{j}\,$

liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$ und überall positiv, da die ${}{\tilde {g}}_{j}(x)$ auf den überdeckenden Mengen ${}\alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ positiv sind. Dann bilden die

${}h_{j}={\frac {{\tilde {g}}_{j}}{\tilde {g}}}\,$

die gesuchte Partition der Eins.

Zur gelösten Aufgabe