Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Kompakte Ausschöpfung/Fakt/Beweis

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Beweis

Zu jedem Punkt gibt es eine offene Kartenumgebung ,

sowie Ballumgebungen

Wegen der Homöomorphie der Kartenabbildung und der Kompaktheit der abgeschlossenen Bälle ist eine kompakte Teilmenge von , die die offene Umgebung von umfasst. Die , , bilden eine offene Überdeckung von , so dass es nach Aufgabe eine abzählbare Teilüberdeckung gibt. Diese sei mit , , bezeichnet (wobei die in den kompakten Teilmengen liegen). Wir definieren nun rekursiv eine monoton wachsende Abbildung

derart, dass

eine kompakte Ausschöpfung von ist. Als eine endliche Vereinigung von kompakten Mengen sind diese kompakt. Wir beginnen mit . Sei schon konstruiert. Die Menge

ist kompakt und wird daher von endlich vielen offenen Mengen überdeckt, wobei wir wählen. Mit dieser Wahl ist

und diese Folge bildet eine Ausschöpfung, da die , , eine offene Überdeckung bilden.

Zur bewiesenen Aussage