Mannigfaltigkeit/Differentialform/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und zu  $k\in \mathbb{N}$  sei ${ℰ}^k(M)$ die Menge der $k$-Formen auf $M$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die ${ℰ}^k(M)$ bilden mit den natürlichen Operationen versehen reelle Vektorräume.
2. Zu einer Differentialform  $\omega \in {ℰ}^k(M)$  und einer Funktion

   $f:M⟶ℝ$

   ist auch  $f\omega \in {ℰ}^k(M)$,  wobei $f\omega$ durch

   $(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)$

   definiert ist.

3. Jede $C^1$-differenzierbare Funktion

   $f:M⟶ℝ$

   definiert über die Tangentialabbildung $Tf$ eine $1$-Differentialform

   $df:M⟶T^{\ast }M,P⟼T_{P}f,$

   wobei der Tangentialraum von $ℝ$ in $f(P)$ mit $ℝ$ identifiziert wird. Dies ergibt eine Abbildung

   $d:C^1(M,ℝ)⟶{ℰ}^1(M),f⟼df.$

4. Wenn  $M\subseteq {ℝ}^m$  eine offene Teilmenge ist, so ist bei der Identifizierung

   $TM\cong M\times {ℝ}^m$

   die Abbildung aus (3) gleich

   $M⟶M\times ({ℝ}^m{)}^{\ast },P⟼(P,{\left(Df\right)}_P(-)).$

5. Die Abbildung $d$ aus (3) ist $ℝ$-linear.

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