Mannigfaltigkeit/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Zusammenhang und Differentialform/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}p\colon E=X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ das triviale Vektorbündel über ${}X$ vom Rang ${}1$. Es sei ${}\omega$ eine ${}1$-Differentialform auf ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $TE\longrightarrow p^{*}E,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w),$

   definiert einen Zusammenhang.

2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

   ${}\nabla (f)(P)=\omega (P)+(df)_{P}\,$

   gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion ${}f$ mit dem Schnitt ${}X\longrightarrow X\times \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto (x,f(x))$.)

3. Eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über ${}U$ bezüglich ${}\nabla$, wenn ${}-f$ eine Stammform zu ${}\omega$ über ${}U$ ist.
4. Die Form ${}\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn der Zusammenhang lokal integrabel ist.
5. Die Form ${}\omega$ ist genau dann exakt, wenn der Zusammenhang global integrabel ist.

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