Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\psi :Z⟶X$

eine differenzierbare Abbildung. Ein differenzierbarer Schnitt

$s:Z⟶E$

(über $\psi$) heißt horizontal, wenn für jeden Punkt  $z\in Z$  das Bild $T(s)(T_{z}Z)$ ganz im Horizontalbündel  $H_{s(z)}\subseteq T_{s(z)}E$  enthalten ist.

Es liegt also das kommutative Diagramm

$\begin{array}{cccc}& & & E\\ & & s\nearrow & \downarrow \\ & Z& \stackrel{\psi }{⟶}& X\end{array}$

vor. Statt von einem horizontalen Schnitt spricht man auuch von einer horizontalen Liftung. Das Konzept kann man insbesondere für Schnitte $s:U\to E{|}_U$ auf einer offenen Menge  $U\subseteq X$  anwenden.

Lemma

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei.

Dann ist ein stetig differenzierbarer Schnitt $s:U\to E{|}_U$ auf einer offenen Menge  $U\subseteq X$  genau dann horizontal, wenn seine vertikale Ableitung  $\mathrm{\nabla }s=0$  ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Zu dieser Aussage gibt es eine entsprechende Variante für horizontale Schnitte längs einer Abbildung, siehe Aufgabe.

Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel, wenn es zu jedem Punkt  $e\in E$  einen auf einer offenen Umgebung  $p(e)\in U\subseteq X$  definierten horizontalen Schnitt

$s:U⟶E{|}_U$

durch $e$ gibt.

Den Zusammenhang nennt man global integrabel, wenn es zu jedem  $e\in E$  einen horizontalen Schnitt auf ganz $X$ gibt.