Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Fasertransport ist linear/Lokal integrabel/Fakt

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}I$ ein Intervall,

$\gamma \colon I\longrightarrow X$

ein differenzierbarer Weg, ${}t\in I$ ein Punkt und ${}e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über ${}\gamma (t)$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt eine horizontale Liftung

   ${\tilde {\gamma }}_{e}={\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

   mit ${}{\tilde {\gamma }}(t)=e$.

2. Für zwei Punkte ${}t_{0},t_{1}\in I$ ist die Abbildung

   $E_{\gamma (t_{0})}\longrightarrow E_{\gamma (t_{1})},\,e\longmapsto {\tilde {\gamma }}_{e}(t_{1}),$

   linear.

3. Es sei ${}\nabla$ lokal integrabel. Dann hängt die in (2) angegebene Abbildung nur von der Homotopieklasse von ${}\gamma$ ab.

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