Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Für jede (orientierte) Karte

zu offen wird die induzierte Karte

mit der Orientierung durch die äußere Normale auf versehen. Nach Voraussetzung besitzen sämtliche Kartenwechsel zu in jedem Punkt eine positive Fundamentaldeterminante bezüglich der die Orientierungen repräsentierenden Basen, und wir müssen zeigen, dass dies auch für die induzierten Kartenwechsel gilt. Dabei können wir von einem offenen Kartengebiet und zwei Karten

und

ausgehen und die Übergangsabbildung

mit offenen Mengen und betrachten. Es sei eine Basis von und derart, dass die äußere Normale von repräsentiert, dass also die Orientierung des repräsentiert (es seien die zugehörigen Koordinaten); ebenso sollen die entsprechenden Eigenschaften erfüllen. Wir schreiben die Fundamentalmatrix von bezüglich dieser Basen hin, also die Matrix mit den Einträgen

Die Determinante davon ist nach Voraussetzung positiv. Wegen gilt für einen Punkt die Beziehung

für . Nach dem Entwicklungssatz hängt daher das Vorzeichen der Determinante der Matrix

die die Fundamentalmatrix der Übergangsabbildung der Randkarten

(bezüglich der Basen und ) im Punkt ist, nur von ab. Dabei gilt mit nach Fakt die Beziehung

Da die äußere Normale repräsentiert, ist bei negativem (betragsmäßig hinreichend kleinen) der Vektor mit den Koordinaten . Daher muss der Bildvektor zu gehören und daher ist wiederum . Also ist dieser Quotient , was dann auch für den Limes gilt. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, muss der Limes sogar positiv sein, woraus die Aussage folgt.