Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Eine Abbildung $d:M\times M\to ℝ$ heißt Metrik, wenn für alle  $x,y,z\in M$  die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. $d(x,y)=0⟺x=y$,
   2. $d(x,y)=d(y,x)$, und
   3. $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$.
2. Ein metrischer Raum $M$ heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von $M$ gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
3. Man sagt, dass $f$ in  $x\in D$  ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein  $ϵ>0$  derart gibt, dass für alle  $x^{\prime }\in D$  mit  $|x-x^{\prime }|\le ϵ$  die Abschätzung

   $f(x)\le f(x^{\prime })$

   gilt.

4. Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $ϵ>0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass

   $f\left(B(x,\delta )\right)\subseteq B(f(x),ϵ)$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

   $f:T⟶𝕂$

   derart gibt, dass es zu jedem $ϵ>0$ ein $n_0$ mit

   $d(f_n(x),f(x))\le ϵ\text{ für alle }n\ge n_0\text{ und alle }x\in T$

   gibt.

6. Die Exponentialreihe in $z$ ist die Reihe

   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

7. Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes

   ${\lim }_{x\in 𝕂\setminus \{a\},x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

   existiert.

8. Das Polynom

   $\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

   heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.

Zur gelösten Aufgabe