Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt eine Funktion

   $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

   auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems

   $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$

   wenn ${}y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

   $y(t_{0})=y_{0}$

   gilt.

2. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

   $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j.$

   gilt.

3. Es sei

   ${}v'=Mv\,$

   mit

   ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$

   eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

   ${}\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$

   auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

4. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt total differenzierbar in ${}P$, wenn es eine ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung ${}L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft

   ${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

   gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle ${}v\in V$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.

5. Man nennt

   ${}\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}\,$

   die Laplace-Ableitung von ${}u$.

6. Man nennt

   ${}\int _{T}fd\lambda ^{n}:=\lambda ^{n+1}{\left(S(f)\right)}\,$

   das (mehrdimensionale) Integral über ${}T$ zu ${}f$, wobei ${}S(f)$ den Subgraphen von ${}f$ bezeichnet.

Zur gelösten Aufgabe