Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Eine Differentialgleichung der Form

   $y'=g(t)y$

   mit einer Funktion (${}I$ reelles Intervall)

   $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

   heißt homogene lineare Differentialgleichung.

2. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

   $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j.$

   gilt.

3. Eine Abbildung

   $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   heißt eine differenzierbare Kurve, wenn für jedes ${}t\in I$ der Limes

   $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\gamma (t+h)-\gamma (t)}{h}}$

   existiert.

4. Es sei

   ${}v'=Mv\,$

   mit

   $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$

   ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

5. Ein reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
6. Eine Abbildung

   $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

   heißt ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn ${}\varphi$ bijektiv und ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

   $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

   ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe