Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung

   ${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

   für alle ${}v,w\in V$.
2. Die zusammengesetzte Abbildung ${}g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung

   $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$

3. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen,

   $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine differenzierbare Funktion und

   $U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$

   das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

   $\varphi \colon J\longrightarrow U$

   eine Lösung der Differentialgleichung

   $v'=G(v).$

   Dann steht ${}\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\varphi (t)}F$ der Faser ${}F$ von ${}h$ durch ${}\varphi (t)$ für alle ${}t\in J$, für die ${}\varphi (t)$ reguläre Punkte

   von ${}h$ sind.

Zur gelösten Aufgabe