Mengensysteme/Dynkin-System/Textabschnitt

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Die folgenden Mengensysteme spielen in Beweisen eine wichtige Rolle.


Definition  

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit und gehört auch zu .
  3. Für jede abzählbare Familie , , mit paarweise disjunkten Mengen ist auch



Lemma

Sei eine Menge. Für ein Mengensystem auf sind äquivalent.

  1. ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
  2. ist eine -Algebra.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Da der Durchschnitt von Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System ist, gibt es zu jedem Mengensystem ein davon erzeugtes Dynkin-System.



Lemma  

Sei eine Menge und ein durchschnittsstabiles Mengensystem auf .

Dann stimmt das von erzeugte Dynkin-System mit der von erzeugten -Algebra überein.

Beweis  

Wir müssen zeigen, dass das von erzeugte Dynkin-System eine -Algebra ist. Dazu genügt es aufgrund von Fakt zu zeigen, dass durchschnittsstabil ist. Zu einer Teilmenge  mit betrachten wir das Mengensystem

Wir müssen zeigen, denn dies bedeutet die Durchschnittsstabilität. Eine direkte Überlegung zeigt, dass ebenfalls ein Dynkin-System ist. Für gilt , da durchschnittsstabil ist. Daher ist für alle . Dann ist aber auch für alle und somit generell .



Definition  

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch zu .
  3. Für je zwei Mengen ist auch .