Mengensysteme/Dynkin-System/Textabschnitt

Die folgenden Mengensysteme spielen in Beweisen eine wichtige Rolle.

Definition

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ und ${}S\subseteq T$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

   ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ sind äquivalent.

1. ${}{\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
2. ${}{\mathcal {A}}$ ist eine ${}\sigma$-Algebra.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Da der Durchschnitt von Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System ist, gibt es zu jedem Mengensystem ein davon erzeugtes Dynkin-System.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem auf ${}M$.

Dann stimmt das von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System mit der von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugten ${}\sigma$-Algebra überein.

Beweis

Wir müssen zeigen, dass das von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System ${}{\mathcal {D}}$ eine ${}\sigma$-Algebra ist. Dazu genügt es aufgrund von Fakt zu zeigen, dass ${}{\mathcal {D}}$ durchschnittsstabil ist. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ mit ${}T\in {\mathcal {D}}$ betrachten wir das Mengensystem

${}{\mathcal {D}}_{T}={\left\{S\in {\mathcal {D}}\mid T\cap S\in {\mathcal {D}}\right\}}\,.$

Wir müssen

${}{\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}\,$

zeigen, denn dies bedeutet die Durchschnittsstabilität. Eine direkte Überlegung zeigt, dass ${}{\mathcal {D}}_{T}$ ebenfalls ein Dynkin-System ist. Für ${}E\in {\mathcal {E}}$ gilt ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{E}$, da ${}{\mathcal {E}}$ durchschnittsstabil ist. Daher ist ${}{\mathcal {D}}_{E}={\mathcal {D}}$ für alle ${}E\in {\mathcal {E}}$. Dann ist aber auch ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{T}$ für alle ${}T\in {\mathcal {D}}$ und somit generell ${}{\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}$.

$\Box$