Mengensysteme für Maßtheorie/Messbare Abbildungen/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und zwei Messräume. Eine Abbildung

heißt messbar (oder genauer -messbar), wenn für alle das Urbild zu gehört.



Lemma

Für messbare Abbildungen gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
  2. Jede konstante Abbildung ist messbar.
  3. Die Identität ist messbar.
  4. Es seien und zwei -Algebren auf einer Menge . Dann ist die Identität auf genau dann -messbar, wenn gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Lemma  

Es seien und zwei Messräume und es sei

eine Abbildung. Es sei ein Erzeugendensystem für .

Dann ist bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge mit das Urbild zu gehört.

Beweis  

Wir betrachten das Mengensystem

Da das Urbildnehmen mit sämtlichen Mengenoperationen verträglich ist, ist eine -Algebra auf . Da diese das Erzeugendensystem umfasst, ist .