Mengensysteme für Maßtheorie/Messbare Abbildungen/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ Messräume. Eine Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt messbar (oder genauer ${}{\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar), wenn für alle ${}T\in {\mathcal {B}}$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört.

Lemma

Für messbare Abbildungen gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
2. Jede konstante Abbildung ist messbar.
3. Die Identität ist messbar.
4. Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ zwei ${}\sigma$-Algebren auf einer Menge ${}M$. Dann ist die Identität auf ${}M$ genau dann ${}{\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar, wenn ${}{\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}$ gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {B}}$.

Dann ist ${}\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ mit ${}T\in {\mathcal {E}}$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört.

Beweis

Wir betrachten das Mengensystem

${}{\mathcal {C}}={\left\{T\subseteq N\mid \varphi ^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}\,.$

Da das Urbildnehmen mit sämtlichen Mengenoperationen verträglich ist, ist ${}{\mathcal {C}}$ eine ${}\sigma$-Algebra auf ${}N$. Da diese das Erzeugendensystem ${}{\mathcal {E}}$ umfasst, ist ${}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$.

$\Box$