Messbare Funktion/Auf sigmaendlichem Maßraum/Graph hat Maß null/Fakt/Beweis

Beweis

Die Mengen ${}f^{-1}(\infty )\times \{\infty \}$ und ${}f^{-1}(-\infty )\times \{-\infty \}$, die beide Teilmengen des Graphen sind, sind Nullmengen in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$. Man kann also annehmen, dass von vornherein eine messbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

vorliegt. Ferner können wir annehmen, dass ${}\mu$ ein endliches Maß ist, da zu einer Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}\mu (M_{n})<\infty$ auch ${}M_{n}\times \mathbb {R}$ eine Ausschöpfung von ${}M\times \mathbb {R}$ ist. Wenn der Durchschnitt des Graphen mit allen ${}M_{n}\times \mathbb {R}$ das Maß ${}0$ hat, so auch der Gesamtgraph.  Nehmen wir nun an, dass ${}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(\Gamma (f)\right)}>0$ ist. Es ist

${}\Gamma (f)=\biguplus _{n\in \mathbb {Z} }{\left(\Gamma (f)\cap (M\times [n,n+1[)\right)}\,$

eine disjunkte abzählbare Vereinigung, sodass mindestens einer dieser „Streifen“ ein positives Maß haben muss. Wir können ${}M$ durch ${}f^{-1}([n,n+1[)$ ersetzen und daher annehmen, dass das Bild von ${}f$ in ${}[n,n+1]$ liegt. Wir betrachten die abzählbar unendlich vielen Verschiebungen

$\Gamma (f)+q{\text{ mit }}q\in \mathbb {Q} \cap [0,1].$

Diese sind paarweise disjunkt und sie liegen alle in ${}M\times [n,n+2]$. Wegen der Translationsinvarianz von ${}\lambda ^{1}$ ist auch für jedes ${}q$ die Abbildung

$M\times \mathbb {R} \longrightarrow M\times \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto (x,t+q),$

maßtreu (man betrachte die Quader, die das Produktmaß festlegen, siehe Aufgabe), und daher besitzt jede Verschiebung des Graphen das gleiche Maß wie der Graph selbst. Aus

${}{\begin{aligned}\sum _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(\Gamma (f)+q\right)}&=(\mu \otimes \lambda ^{1}){\left(\biguplus _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}(\Gamma (f)+q)\right)}\\&\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(M\times [n,n+2])\\&=\mu (M)\cdot 2\\&<\infty \end{aligned}}$

ergibt sich ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage