Beweis
Die Mengen
und
, die beide Teilmengen des Graphen sind, sind Nullmengen in
. Man kann also annehmen, dass von vornherein eine messbare Funktion
-
vorliegt. Ferner können wir annehmen, dass
ein endliches Maß ist, da zu einer
Ausschöpfung
mit
auch
eine Ausschöpfung von
ist. Wenn der Durchschnitt des Graphen mit allen
das Maß
hat, so auch der Gesamtgraph.
Nehmen wir nun an, dass
ist. Es ist
-
![{\displaystyle {}\Gamma (f)=\biguplus _{n\in \mathbb {Z} }{\left(\Gamma (f)\cap (M\times [n,n+1[)\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ff1d46b979fe353a8bc552922a5a72c5c33d17)
eine
disjunkte
abzählbare Vereinigung,
so dass mindestens einer dieser „Streifen“ ein positives Maß haben muss. Wir können
durch
ersetzen und daher annehmen, dass das Bild von
in
liegt. Wir betrachten die abzählbar unendlich vielen
Verschiebungen
-
Diese sind
paarweise disjunkt
und sie liegen alle in
. Wegen der
Translationsinvarianz
von
ist auch für jedes
die Abbildung
-
maßtreu
(man betrachte die Quader, die das Produktmaß festlegen, siehe
Aufgabe),
und daher besitzt jede Verschiebung des Graphen das gleiche Maß wie der Graph selbst. Aus
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(\Gamma (f)+q\right)}&=(\mu \otimes \lambda ^{1}){\left(\biguplus _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}(\Gamma (f)+q)\right)}\\&\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(M\times [n,n+2])\\&=\mu (M)\cdot 2\\&<\infty \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04456cd00a4f44d44bb316176989392e2d87e11c)
ergibt sich ein Widerspruch.