Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein nichtleerer metrischer Raum ${}X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (a)=x$ und ${}\gamma (b)=y$ gibt.

Lemma

Ein wegzusammenhängender metrischer Raum

ist zusammenhängend.

Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung ${}X=U_{1}\uplus U_{2}$ in zwei nichtleere offene Teilmenge ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$. Sei ${}x_{1}\in U_{1}$ und ${}x_{2}\in U_{2}$. Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (a)=x_{1}$ und ${}\gamma (b)=x_{2}$. Dann ist

${}[a,b]=\gamma ^{-1}(U_{1})\uplus \gamma ^{-1}(U_{2})\,$

eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu Fakt.

$\Box$

Mit dieser Aussage lässt sich häufig zeigen, dass gewisse Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ zusamenhängend sind. Beispielsweise ist der ${}\mathbb {R} ^{n}$ selbst sowie die offenen und abgeschlossenen Kugeln darin zusammenhängend, siehe Aufgabe.

Satz

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge.

Dann ist ${}U$ genau dann zusammenhängend, wenn ${}U$ wegzusammenhängend ist.

Beweis

Die eine Richtung folgt aus Fakt. Für die andere Richtung sei ${}U$ zusammenhängend. Zu einem Punkt ${}x\in U$ betrachten wir die Menge

$Z(x)={\left\{y\in U\mid {\text{ Es gibt einen stetigen Weg von }}x{\text{ nach }}y\right\}}\,.$

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte ${}x_{1},x_{2}\in U$ entweder ${}Z(x_{1})=Z(x_{2})$ oder aber ${}Z(x_{1})\cap Z(x_{2})=\emptyset$. Wenn ${}U$ nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre ${}U\neq Z(x)$ und es gäbe eine Zerlegung

${}U=Z(x)\uplus \bigcup _{y\notin Z(x)}Z(y)\,$

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.

$\Box$

Für nicht offene Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ gilt die vorstehende Äquivalenz nicht, siehe Aufgabe.