Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Beweis

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Beweis

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton. Umgekehrt sei eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert , den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als

wobei nullstellenfrei sei. Dann ist

Wir wenden dies auf an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor auf bzw. auf ab. Insgesamt wird somit auf

abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und ist, muss ein sein.

Zur bewiesenen Aussage