Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Beweis
Erscheinungsbild
Beweis
Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton. Umgekehrt sei eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert , den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
wobei nullstellenfrei sei. Dann ist
Wir wenden dies auf an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor auf bzw. auf ab. Insgesamt wird somit auf
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und ist, muss ein sein.