Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Textabschnitt

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Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion kann man

als die Durchschnittshöhe der Funktion ansehen, da dieser Wert mit der Länge des Grundintervalls multipliziert den Flächeninhalt unterhalb des Graphen zu ergibt. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass für eine stetige Funktion dieser Durchschnittswert (oder Mittelwert) von der Funktion auch angenommen wird.



Satz  

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein mit

Beweis  

Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Fakt angenommen werden. Dann ist insbesondere für alle und

Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .