Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Textabschnitt

Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ kann man

${\frac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}{b-a}}$

als die Durchschnittshöhe der Funktion ansehen, da dieser Wert mit der Länge ${}b-a$ des Grundintervalls multipliziert den Flächeninhalt unterhalb des Graphen zu ${}f$ ergibt. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass für eine stetige Funktion dieser Durchschnittswert (oder Mittelwert) von der Funktion auch angenommen wird.

Satz

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

Beweis

Über dem kompakten Intervall ist die Funktion ${}f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien ${}m$ und ${}M$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Fakt angenommen werden. Dann ist insbesondere ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in [a,b]$ und

${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.$

Daher ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)$ mit einem ${}d\in [m,M]$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=d$.

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