Modallogik/K/Systeme/Textabschnitt

Definition

Das modallogische ${}K$-System, in dem das Möglichkeitsaxiom gilt, heißt ${}D$-System.

Definition

Das modallogische ${}K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom gilt, heißt ${}T$-System.

Lemma

Im modallogischen ${}T$-System gelten die folgenden Aussagen.

Es ist

$T\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$

Insbesondere ist

$T\vdash \Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$

und damit ist ein ${}T$-System auch ein ${}D$-System.

Beweis

Die Kontraposition des Reflexivitätsaxioms ergibt direkt

$T\vdash \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \alpha ,$

also

$T\vdash \neg \alpha \rightarrow \Diamond \neg \alpha .$

Da dies für alle ${}\alpha$ gilt, gilt nach Fakt  (5) auch

$T\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$

Der Zusatz folgt aus

$T\vdash \Box \alpha \rightarrow \alpha {\text{ und }}T\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$

$\Box$

Definition

Das modallogische ${}K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Symmetrieaxiom gilt, heißt ${}B$-System.

Definition

Das modallogische ${}K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt ${}S4$-System.

Definition

Das modallogische ${}K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom, das Symmetrieaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt ${}S5$-System.

Lemma

Für ein modallogisches ${}K$-System ${}S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es gilt das Reflexivitätsaxiom und das euklidische Axiom
2. Es gilt das Möglichkeitsaxiom, das Symmetrieaxiom und das Transitivitätsaxiom
3. Es handelt sich um das ${}S5$-System.

Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei ${}\Gamma _{1}$ das modallogische System, das durch die Gültigkeit von Reflexivitätsaxiom und euklidischem Axiom festgelegt ist. Nach Fakt gilt mit dem Reflexivitätsaxiom auch das Möglichkeitsaxiom. Durch das Reflexivitätsaxiom gilt

$\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$

und mit dem euklidischen Axiom gilt

$\Gamma _{1}\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$

was mit dem Kettenschluss

$\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$

also die Symmetrie ergibt. Aus dem euklidischen Axiom und der Symmetrie ergibt sich nach Fakt auch die Transitivität.

Aus (2) folgt (3). Es sei ${}\Gamma _{2}$ die Vereinigung aus dem Möglichkeitsaxiom, dem Symmetrieaxiom und dem Transitivitätsaxiom. Das Symmetrieaxiom ergibt

$\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$

das Möglichkeitsaxiom liefert

$\Gamma _{2}\vdash \Box \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \Diamond \alpha$

und das Transitivitätsaxiom liefert

$\Gamma _{2}\vdash \Diamond \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$

Der Kettenschluss darauf angewendet liefert

$\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha ,$

also das Reflexivitätsaxiom.

Aus (3) folgt (1). Aus dem Transitivitätsaxiom

$S_{5}\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$

ergibt sich mit Fakt  (2)

$S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Diamond \Box \Box \alpha .$

Aufgrund des Symmetrieaxioms gilt

$S_{5}\vdash \Diamond \Box \beta \rightarrow \beta .$

Angewendet auf ${}\beta =\Box \alpha$ ergibt dies

$S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$

Dies ist gleichwertig zum euklidischen Axiom.

$\Box$

Lemma

In einem modallogischen ${}K$-System, in dem das Löb-Axiom gilt,

gilt auch das Transitivitätsaxiom.

Beweis

Wir wenden das Löb-Axiom auf den Ausdruck ${}\Box \alpha \wedge \alpha$ an und erhalten (${}L$ steht für dieses modallogische System)

$L\vdash \Box (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))\rightarrow \Box (\Box \alpha \wedge \alpha ).$

Wegen Fakt  (3) ist

$\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \Box \alpha$

und

$\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \alpha .$

Wegen der zuletzt angeführten Ableitung erhält man

$\vdash \alpha \rightarrow (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))$

und daraus mit Fakt  (1) auch

$\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box ((\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))).$

Ein zweifacher Kettenschluss liefert

$L\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$

$\Box$