Modallogik/K/Systeme/Textabschnitt

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Definition  

Das modallogische -System, in dem das Möglichkeitsaxiom gilt, heißt -System.


Definition  

Das modallogische -System, in dem das Reflexivitätsaxiom gilt, heißt -System.



Lemma  

Im modallogischen -System gelten die folgenden Aussagen.

Es ist

Insbesondere ist

und damit ist ein -System auch ein -System.

Beweis  

Die Kontraposition des Reflexivitätsaxioms ergibt direkt

also

Da dies für alle gilt, gilt nach Fakt  (5) auch

Der Zusatz folgt aus



Definition  

Das modallogische -System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Symmetrieaxiom gilt, heißt -System.


Definition  

Das modallogische -System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt -System.


Definition  

Das modallogische -System, in dem das Reflexivitätsaxiom, das Symmetrieaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt -System.



Lemma  

Für ein modallogisches -System sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Es gilt das Reflexivitätsaxiom und das euklidische Axiom
  2. Es gilt das Möglichkeitsaxiom, das Symmetrieaxiom und das Transitivitätsaxiom
  3. Es handelt sich um das -System.

Beweis  

Aus (1) folgt (2). Es sei das modallogische System, das durch die Gültigkeit von Reflexivitätsaxiom und euklidischem Axiom festgelegt ist. Nach Fakt gilt mit dem Reflexivitätsaxiom auch das Möglichkeitsaxiom. Durch das Reflexivitätsaxiom gilt

und mit dem euklidischen Axiom gilt

was mit dem Kettenschluss

also die Symmetrie ergibt. Aus dem euklidischen Axiom und der Symmetrie ergibt sich nach Fakt auch die Transitivität.

Aus (2) folgt (3). Sei die Vereinigung aus dem Möglichkeitsaxiom, dem Symmetrieaxiom und dem Transitivitätsaxiom. Das Symmetrieaxiom ergibt

das Möglichkeitsaxiom liefert

und das Transitivitätsaxiom liefert

Der Kettenschluss darauf angewendet liefert

also das Reflexivitätsaxiom.

Aus (3) folgt (1). Aus dem Transitivitätsaxiom

ergibt sich mit Fakt  (2)

Aufgrund des Symmetrieaxioms gilt

Angewendet auf ergibt dies

Dies ist gleichwertig zum euklidischen Axiom.




Lemma  

In einem modallogischen -System, in dem das Löb-Axiom gilt,

gilt auch das Transitivitätsaxiom.

Beweis  

Wir wenden das Löb-Axiom auf den Ausdruck an und erhalten ( steht für dieses modallogische System)

Wegen Fakt  (3) ist

und

Wegen der zuletzt angeführten Ableitung erhält man

und daraus mit Fakt  (1) auch

Ein zweifacher Kettenschluss liefert