Modallogik/Semantik/Einführung/Textabschnitt

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Von Gottfried Wilhelm Leibniz stammt die Idee, Notwendigkeiten über mögliche Welten zu verstehen.
Saul Kripke schuf die formale Modelltheorie für die Modallogik.


Wir besprechen nun die Semantik der Modallogik, die mit gerichteten Graphen arbeitet, die die Idee von erreichbaren Welten modellieren.


Definition  

Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen zusammen mit einer Wahrheitsbelegung für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt .

Die Knotenpunkte des gerichteten Graphen nennt man in diesem Zusammenhang auch Welten oder Weltpunkte. Die von einer Welt aus verbundenen Welten , also die mit , nennt man die von aus erreichbaren Welten, die Relation heißt auch Erreichbarkeitsrelation. Durch die übliche Interpretation der aussagenlogischen Junktoren erhält man in jedem Weltpunkt eine Belegung für alle aussagenlogischen Ausdrücke in den gegebenen Aussagenvariablen. Darauf aufbauend kann man auch jedem modallogischen Ausdruck an jedem Knotenpunkt einen Wahrheitswert zuordnen, und zwar in folgender Weise. Dabei wird die Gültigkeit einer Aussage in einer Welt als notiert.


Definition  

In einem modallogischen Modell (mit einer punktweisen Wahrheitsbelegung ) definiert man die Gültigkeit von modallogischen Ausdrücken induktiv wie folgt: Sei der modallogische Ausdruck schon für jeden Weltpunkt definiert. Dann setzt man für einen jeden Weltpunkt

genau dann, wenn in jeder von aus erreichbaren Welt die Beziehung

gilt.


Beispiel  

Baby Category 2.svg

Wir arbeiten mit den Aussagenvariablen . Im Weltpunkt gelte

und im Weltpunkt gelte

Daraus kann man die Gültigkeit von aussagenlogischen Ausdrücken jeweils erschließen, beispielsweise gilt

oder

Für modallogische Ausdrücke muss man den gerichteten Graphen berücksichtigen, wobei man induktiv über die Anzahl der Boxen vorgeht. Es geht also zunächst um Ausdrücke der Form , wobei ein rein aussagenlogischer Ausdruck ist (also ohne jede Box). Die Gültigkeit von in einem Weltpunkt bedeutet, dass in jedem von diesem Weltpunkt aus erreichbaren Weltpunkt gilt. Somit gilt beispielsweise

und

und

ferner

und

Damit kann man dann in jedem Punkt aussagenlogisch den Wahrheitswert von jeder modallogischen Aussage bestimmen, in der die Box nur einfach (also ohne Verschachtelungen) auftritt, beispielsweise

Unter Berücksichtigung des gerichteten Graphen kann man dann auch den Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck mit modallogischer Verschachtelungstiefe bestimmen, also etwa

u.s.w.


Kripke frame.png


Kripke model.png


Frames.png


Definition  

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck in einem modallogischen Modell gilt, geschrieben

wenn

für alle gilt.



Lemma  

  1. Die aussagenlogischen Tautologien der modallogischen Sprache gelten in jedem modallogischen Modell.
  2. In jedem modallogischen Modell gilt das -Axiom, also
  3. Die in einem (jeden) modallogischen Modell gültigen Ausdrücke sind abgeschlossen unter dem Modus ponens.
  4. Wenn ein modallogischer Ausdruck in einem (jedem) modallogischen Modell gilt, so gilt auch in diesem (jedem) modallogischen Modell.

Beweis  

(1) und (3) sind klar, da die Gültigkeit in einem Knoten die aussagenlogischen Gesetze respektiert. (2). Sei und

und

Dann gilt in jeder von aus erreichbaren Welt

und damit

Also ist

(4). Wenn in einem modallogischen Modell gilt, so gilt für jede Welt auch . Wegen dieser allgemeinen Gültigkeit gilt auch für jede von aus erreichbare Welt und damit . Dies gilt in jedem Punkt dieses Modells.



Definition  

Man sagt, dass eine Menge von modallogischen Ausdrücken in einem modallogischen Modell gilt, geschrieben

wenn

für alle gilt.


Definition  

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck in einem gerichteten Graphen gilt, geschrieben

wenn für jede Wahrheitsbelegung

gilt.


Definition  

Es sei eine Menge von modallogischen Ausdrücken und ein modallogischer Ausdruck. Man sagt, dass aus folgt, geschrieben , wenn für jedes modallogische Modell mit

auch

gilt.

Für ergeben sich die modallogisch allgemeingültigen Ausdrücke. Aufgrund von Fakt gehören alle in der -Modallogik ableitbaren Ausdrücke dazu. Wie in der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik ist also der Ableitungskalkül korrekt und es erhebt sich die Frage, ob er auch vollständig ist.



Lemma  

Es sei ein -modallogisches System und ein modallogischer Ausdruck. Es gelte

Dann ist auch

Beweis  

Dies folgt aus Fakt.


Diese Aussage erlaubt es insbesondere, zu zeigen, dass aus einem gegebenen modallogischen Axiomensystem ein gewisser modallogischer Ausdruck nicht ableitbar, indem man ein modallogisches Modell angibt, in dem gilt, aber nicht.