Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $R\to R^{\prime }$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt $R^{\prime }{\otimes }_{R}M$ ist ein $R^{\prime }$-Modul.
2. Es gibt einen kanonischen $R$-Modulhomomorphismus

   $M⟶R^{\prime }{\otimes }_{R}M,v⟼1\otimes v.$

   Bei  $R=R^{\prime }$  ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einem $R$-Modulhomomorphismus $\phi :M\to N$ ist die induzierte Abbildung

   ${\mathrm{Id}}_{R^{\prime }}\otimes \phi :R^{\prime }{\otimes }_{R}M⟶R^{\prime }{\otimes }_{R}N$

   ein $R^{\prime }$-Modulhomomorphismus.

4. Zu  $M=R^n$  ist

   $R^{\prime }{\otimes }_R{R}^n\cong {\left(R^{\prime }\right)}^n.$

5. Zu einem weiteren Ringhomomorphismus $R^{\prime }\to R^{\prime \prime }$ ist

   $R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M\cong R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)$

   (eine Isomorphie von $R^{\prime \prime }$-Moduln).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen