Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Die Multiplikation

ist -bilinear und führt nach Fakt zu einer -linearen Abbildung

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt einen -Modulhomomorphismus

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

die explizit durch

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die -Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation induziert eine -lineare Abbildung

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung mit dieser Abbildung ist die Identität auf , so dass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine -lineare Abbildung . Dies führt zu einer -multilinearen Abbildung

die eine -lineare Abbildung

induziert. Andererseits haben wir eine -lineare Abbildung

Rechts steht ein -Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine -multilineare Abbildung

auffassen, die ihrerseits zu einer -linearen Abbildung

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die -Multiplikationen entsprechen.

Zur bewiesenen Aussage