Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Multiplikation

$R^{\prime }\times R^{\prime }⟶R^{\prime },(r,s)⟼rs,$

ist $R^{\prime }$-bilinear und führt nach Fakt zu einer $R^{\prime }$-linearen Abbildung

$R^{\prime }{\otimes }_R{R}^{\prime }⟶R^{\prime }.$

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt einen $R$-Modulhomomorphismus

$R^{\prime }{\otimes }_R\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)\cong \left(R^{\prime }{\otimes }_R{R}^{\prime }\right){\otimes }_{R}M⟶R^{\prime }{\otimes }_{R}M.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$R^{\prime }\times \left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right),$

die explizit durch

$s\cdot (\sum _{j=1}^n{r}_j\otimes m_j)=\sum _{j=1}^n\left(s{r}_j\right)\otimes m_j$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die $R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei  $R^{\prime }=R$  ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation $R\times M\to M$ induziert eine $R$-lineare Abbildung

$R{\otimes }_{R}M⟶M.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung $M\to R{\otimes }_{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf $M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $R$-lineare Abbildung $M\to R^{\prime }{\otimes }_{R}M$. Dies führt zu einer $R$-multilinearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\times M⟶R^{\prime \prime }\times \left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right),$

die eine $R$-lineare Abbildung

$R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)$

induziert. Andererseits haben wir eine $R^{\prime }$-lineare Abbildung

$R^{\prime }{\otimes }_{R}M⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M.$

Rechts steht ein $R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $R^{\prime }$-multilineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\times \left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M$

auffassen, die ihrerseits zu einer $R^{\prime }$-linearen Abbildung

$R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.

Zur bewiesenen Aussage