Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Multiplikation

$R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,$

ist ${}R'$-bilinear und führt nach Fakt zu einer ${}R'$-linearen Abbildung

$R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.$

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die explizit durch

${}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${}R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${}R'=R$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${}R\times M\rightarrow M$ induziert eine ${}R$-lineare Abbildung

$R\otimes _{R}M\longrightarrow M.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${}M\rightarrow R\otimes _{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${}M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${}R$-lineare Abbildung ${}M\rightarrow R'\otimes _{R}M$. Dies führt zu einer ${}R$-multilinearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die eine ${}R$-lineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${}R'$-lineare Abbildung

$R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.$

Rechts steht ein ${}R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${}R'$-multilineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${}R'$-linearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${}R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.

Zur bewiesenen Aussage