Beweis
(1). Die Multiplikation
-
ist
-bilinear
und führt nach
Fakt
zu einer
-linearen Abbildung
-
Dies induziert nach
Fakt (2)
und nach
Fakt
einen
-Modulhomomorphismus
-
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
-
die explizit durch
-
![{\displaystyle {}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf4aa7012d4b1227240699b57150e0b7f6b767)
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die
-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei
ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation
induziert eine
-lineare Abbildung
-
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung
mit dieser Abbildung ist die Identität auf
, so dass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus
Fakt (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine
-lineare Abbildung
.
Dies führt zu einer
-multilinearen Abbildung
-
die eine
![{\displaystyle {}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345abf82321729597c4ff598e8bde02f15b95c0a)
-lineare Abbildung
-
induziert. Andererseits haben wir eine
-lineare Abbildung
-
Rechts steht ein
-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine
-multilineare Abbildung
-
auffassen, die ihrerseits zu einer
-linearen Abbildung
-
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die
-Multiplikationen entsprechen.