Beweis
Der
Torsionsuntermodul
hat als
endlicher
Torsionsmodul
einen nichttrivialen
Annullator.
Daher besitzt er nach
Fakt
eine direkte Summenzerlegung in
zyklische
Moduln.
Der
Restklassenmodul
ist endlich und torsionsfrei und daher nach
Fakt
frei. Als freier Modul besitzt er eine Basis und die Basiselemente erzeugen zyklische Untermoduln, als deren direkte Summe sich darstellen lässt.
Es bleibt also nur zu zeigen:
-
Es sei dazu 
. ist ein
freier
Modul, daher gibt es eine
Basis
![{\displaystyle {}[x_{1}],\ldots ,[x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7995eb9998734230175b7fa6510a4fe52375b2)
, die durch nichtannullierbare Elemente 
repräsentiert wird.
Es sei nun und ![{\displaystyle {}[x]=a_{1}[x_{1}]+\cdots +a_{n}[x_{n}]\in M/\operatorname {t} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba4c222829f08066e8b11865a1372d2cd4046ca)
. Dann gibt es nach Definition der
Restklasse
genau ein 
mit 
. Weil es auch umgekehrt für jedes Paar aus ![{\displaystyle {}[x]=b_{1}[x_{1}]+\cdots +b_{n}[x_{n}]\in M/\operatorname {t} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a9a4f0ab56fb1f3b49e01a582b0ad04c907ae2)
und genau ein 
gibt, ist die Summenzerlegung direkt.
