Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/K-Vektorraum über K-Polynomring/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\varphi \in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus in ${}V$. Dann trägt ${}V$ eine Modulstruktur über dem Polynomring ${}K[X]$, die vermittelt wird durch die Skalarmultiplikation

$K[X]\times V\longrightarrow V,\,P\times v\longmapsto P(\varphi )(v).$

Die linearen Polynome ${}X-a$ für ${}a\in K$ sind Primpolynome, also Primelemente in ${}K[X]$ .

Der ${}(X-a)$-Sockel

$V^{1}(X-a)=\left\{x\in V:(\varphi -a\cdot \operatorname {Id} )(x)=\varphi (x)-ax=0\right\}$

ist gerade der

Eigenraum zum Wert ${}a$.

Die Verallgemeinerung ${}V(X-a)$ heißt der zugehörige Hauptraum (dies ist also der Raum, in dem ${}\varphi (x)-ax$ nilpotent ist).