Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt aus Fakt, da wegen der Bedingung an die Kodimension einfach zusammenhängend und die Operation darauf nach Voraussetzung fixpunktfrei ist.
(2). Die Abbildung ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung ist auf der Untergruppe trivial. Für ist ja und somit ist

Daher ist in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus

also ein Charakter auf . Zur Bestimmung des Kerns von sei zunächst die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus

auf . Doch dann ist natürlich für die Basis von und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss für jedes gelten. Doch dann ist durch

eine Fortsetzung von nach gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus

vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe.
(3). Der Monoidhomomorphismus

führt zu einem - Algebrahomomorphismus

und damit zu einem Morphismus der zugehörigen Spektren, der -Spektren, und der entsprechenden metrischen Räume, also zu einer (in der natürlichen Topologie) stetigen Abbildung

Da diese Abbildung über faktorisiert, liegt das Bild dieser Abbildung ganz in . Die Einschränkung auf den Einheitskreis ist natürlich ebenfalls stetig.
(4). Wir haben ein kommutatives Diagramm

wobei durch definiert ist. Diesem Diagramm entspricht das Diagramm

Die Liftung spielt sich nun im Wesentlichen links ab, d.h. es muss der einfach geschlossene Weg

bezüglich der -ten Potenz geliftet werden. Dies geschieht aber durch die Zuordnung

Die -te Komponente des Endpunkts dieser Liftung in ist

Durch diese Zahlen ist auch der zu gehörende Charakter aus Teil (2) gegeben.