Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus Fakt, da ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ wegen der Bedingung an die Kodimension einfach zusammenhängend und die Operation darauf nach Voraussetzung fixpunktfrei ist.
(2). Die Abbildung ${}F$ ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung ${}F(\gamma )$ ist auf der Untergruppe ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ trivial. Für ${}u\in \Gamma$ ist ja ${}\gamma (mu)=m\gamma (u)$ und somit ist

${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (mu)}{m}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }m\gamma (u)}{m}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\gamma (u)}=1\,.$

Daher ist ${}F(\gamma )$ in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} ^{n}/\Gamma \cong D\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$

also ein Charakter auf ${}D$. Zur Bestimmung des Kerns von ${}F$ sei zunächst ${}\gamma$ die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\gamma }}\colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z}$

auf ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$. Doch dann ist natürlich ${}\gamma (me_{j})=m{\tilde {\gamma }}(e_{j})$ für die Basis ${}e_{j}$ von ${}\mathbb {Z} ^{r}$ und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss ${}{\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\in \mathbb {Z}$ für jedes ${}e_{j}$ gelten. Doch dann ist durch

${}{\tilde {\gamma }}(e_{j}):={\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\,$

eine Fortsetzung von ${}\gamma$ nach ${}\mathbb {Z} ^{n}$ gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G$

vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe.
(3). Der Monoidhomomorphismus

$M\hookrightarrow \Gamma {\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}\mathbb {Z}$

führt zu einem ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

${\mathbb {C} }[M]\longrightarrow {\mathbb {C} }[\mathbb {Z} ]\cong {\mathbb {C} }[W,W^{-1}]$

und damit zu einem Morphismus der zugehörigen Spektren, der ${}{\mathbb {C} }$-Spektren, und der entsprechenden metrischen Räume, also zu einer (in der natürlichen Topologie) stetigen Abbildung

$\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }.$

Da diese Abbildung über ${}\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[\Gamma ]\right)}_{\mathbb {C} }\cong {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}$ faktorisiert, liegt das Bild dieser Abbildung ganz in ${}Y\setminus q(T)$. Die Einschränkung auf den Einheitskreis ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ ist natürlich ebenfalls stetig.
(4). Wir haben ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma &{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {N} ^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {\tilde {\gamma }}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei ${}{\tilde {\gamma }}$ durch ${}{\tilde {\gamma }}(e_{j}):=\gamma (me_{j})$ definiert ist. Diesem Diagramm entspricht das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {{\tilde {\gamma }}^{*}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{t}^{m}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {\gamma ^{*}}{\longrightarrow }}&Y&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Die Liftung spielt sich nun im Wesentlichen links ab, d.h. es muss der einfach geschlossene Weg

$\iota \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{s{\mathrm {i} }},$

bezüglich der ${}m$-ten Potenz ${}t\mapsto t^{m}$ geliftet werden. Dies geschieht aber durch die Zuordnung

${\tilde {\iota }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{\frac {s{\mathrm {i} }}{m}}.$

Die ${}j$-te Komponente des Endpunkts dieser Liftung in ${}{\mathbb {C} }^{r}$ ist

${}{\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\tilde {\iota }}(2\pi )={\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{{\tilde {\gamma }}(e_{j})}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{\gamma (me_{j})}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\,.$

Durch diese Zahlen ist auch der zu ${}\gamma$ gehörende Charakter ${}F(\gamma )$ aus Teil (2) gegeben.

Zur bewiesenen Aussage