Natürliche Zahlen/Zehnersystem/Nachfolger und Ordnung/Textabschnitt

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Bemerkung  

Das Dezimalsystem im Sinne eines Zählsystems, das die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt, hat erstmal nichts mit Summe, Produkt, Potenzen zu tun, sondern ist allein durch die folgende Struktur (Menge mit Zählvorschrift) gegeben. Die Elemente sind von der Form

also einfach endliche geordnete Tupel von Ziffern (Ziffernfolgen) aus der Menge . Dabei ist das Startelement. Der Zählvorgang wird durch den folgenden dezimalen Zähl-Algorithmus beschrieben.

  1. Für einstellige Ziffern ist der Nachfolger gemäß der Reihenfolge festgelegt (dies ist das kleine Einsnacheins).
  2. Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer letzten Ziffer ist der Nachfolger diejenige Ziffernfolge, bei der die letzte Ziffer durch den Nachfolger ersetzt wird und alle anderen Ziffern unverändert übernommen werden.
  3. Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer Neun als letzter Ziffer sind sämtliche zusammenhängenden Neunen von hinten durch Nullen zu ersetzen und die von hinten erste von verschiedene Ziffer durch ihren Nachfolger zu ersetzen, die übrigen Ziffern bleiben gleich (wenn die Zahl ausschließlich aus Neunen besteht, ist dies so zu verstehen, dass man sich davor eine dazudenkt).




Lemma  

Das Nachfolgernehmen im Dezimalsystem (gemischtes Dezimaldarstellungssystem)

stimmt mit dem Zählvorgang im Sinne von Bemerkung (Dezimalzählsystem) überein.

Beweis  

Wir gehen vom Dezimalsystem im Sinne einer gemischten Darstellung (Stellenwertsystem) aus und müssen zeigen, dass dort das Nachfolgernehmen, also die Addition mit , die gleiche Wirkungsweise besitzt wie der Zählalgorithmus. Der Nachfolger einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

ist einfach

Aus diesem Ausdruck lässt sich aber noch nicht unmittelbar die Dezimaldarstellung dieser Zahl ablesen, da der Einerkoeffizient nicht unbedingt sein muss. Wenn ist, so ist

und die Dezimalentwicklung des Nachfolgers liegt unmittelbar vor. Wenn hingegen ist, so geht es um die Zahl

Erneut gilt, dass bei die Dezimalentwicklung vorliegt, bei muss man wie zuvor weitermachen. Wenn die hintersten (niedrigststelligen) Ziffern gleich sind und

(was den Fall einschließt, dass genau Ziffern hat, in welchem Fall als zu interpretieren ist), so erhält man den Nachfolger, indem man diese Neunen durch Nullen ersetzt und um erhöht. Es liegt also die Wirkungsweise des Zählalgorithmus vor.




Korollar  

Sei . Eine natürliche Zahl ist genau dann ,

wenn sie im Zehnersystem aus maximal Ziffern besteht.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt, da es für den Zählprozess klar ist, dass längere Ziffernfolgen größer sind (im Zählprozess später dran kommen).




Korollar  

Es seien

und

zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem (also mit ).

Dann ist

genau dann, wenn

oder wenn ist und wenn es ein , , derart gibt, dass

ist.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt. Vom Zählprozess her ist es klar, dass längere Ziffernfolgen größer sind. Bei gleichlangen Ziffernfolgen und übereinstimmender Anfangssequenz entscheidet die nächste Ziffer, welche im Zählprozess später dran kommt.