Natürliche Zahlen/Zehnersystem/Nachfolger und Ordnung/Textabschnitt

Bemerkung  

Das Dezimalsystem im Sinne eines Zählsystems, das die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt, hat erstmal nichts mit Summe, Produkt, Potenzen zu tun, sondern ist allein durch die folgende Struktur (Menge mit Zählvorschrift) gegeben. Die Elemente sind von der Form

$a_{\ell }a_{\ell -1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0},$

also einfach endliche geordnete Tupel von Ziffern (Ziffernfolgen) aus der Menge ${}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Dabei ist ${}0$ das Startelement. Der Zählvorgang wird durch den folgenden dezimalen Zähl-Algorithmus beschrieben.

1. Für einstellige Ziffern ${}\neq 9$ ist der Nachfolger gemäß der Reihenfolge ${}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ festgelegt (dies ist das kleine Einsnacheins).
2. Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer letzten Ziffer ${}\neq 9$ ist der Nachfolger diejenige Ziffernfolge, bei der die letzte Ziffer durch den Nachfolger ersetzt wird und alle anderen Ziffern unverändert übernommen werden.
3. Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer Neun als letzter Ziffer sind sämtliche zusammenhängenden Neunen von hinten durch Nullen zu ersetzen und die von hinten erste von ${}9$ verschiedene Ziffer durch ihren Nachfolger zu ersetzen, die übrigen Ziffern bleiben gleich (wenn die Zahl ausschließlich aus Neunen besteht, ist dies so zu verstehen, dass man sich davor eine ${}0$ dazudenkt).

Lemma

Das Nachfolgernehmen im Dezimalsystem (gemischtes Dezimaldarstellungssystem)

stimmt mit dem Zählvorgang im Sinne von Bemerkung (Dezimalzählsystem) überein.

Beweis

Wir gehen vom Dezimalsystem im Sinne einer gemischten Darstellung (Stellenwertsystem) aus und müssen zeigen, dass dort das Nachfolgernehmen, also die Addition mit ${}1$, die gleiche Wirkungsweise besitzt wie der Zählalgorithmus. Der Nachfolger einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

${}n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\,$

ist einfach

${\left(a_{0}+1\right)}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.$

Aus diesem Ausdruck lässt sich aber noch nicht unmittelbar die Dezimaldarstellung dieser Zahl ablesen, da der Einerkoeffizient nicht unbedingt ${}\leq 9$ sein muss. Wenn ${}a_{0}\leq 8$ ist, so ist

${}a_{0}+1\leq 9\,$

und die Dezimalentwicklung des Nachfolgers liegt unmittelbar vor. Wenn hingegen ${}a_{0}=9$ ist, so geht es um die Zahl

${}{\begin{aligned}n+1&=(9+1)+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=10+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=(a_{1}+1)\cdot 10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.\end{aligned}}$

Erneut gilt, dass bei ${}a_{1}\leq 8$ die Dezimalentwicklung vorliegt, bei ${}a_{1}=9$ muss man wie zuvor weitermachen. Wenn die hintersten (niedrigststelligen) ${}s$ Ziffern ${}a_{0},\ldots ,a_{s-1}$ gleich ${}9$ sind und

${}a_{s}\neq 9\,$

(was den Fall einschließt, dass ${}n$ genau ${}s$ Ziffern hat, in welchem Fall ${}a_{s}$ als ${}0$ zu interpretieren ist), so erhält man den Nachfolger, indem man diese ${}s$ Neunen durch Nullen ersetzt und ${}a_{s}$ um ${}1$ erhöht. Es liegt also die Wirkungsweise des Zählalgorithmus vor.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Eine natürliche Zahl ist genau dann ${}<10^{k}$,

wenn sie im Zehnersystem aus maximal ${}k$ Ziffern besteht.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da es für den Zählprozess klar ist, dass längere Ziffernfolgen größer sind (im Zählprozess später dran kommen).

$\Box$

Korollar

Es seien

${}m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$

und

${}n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell -1}10^{\ell -1}\,$

zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem (also mit ${}0\leq a_{i},b_{i}\leq 9$).

Dann ist

${}m>n\,$

genau dann, wenn

${}k>\ell \,$

oder wenn ${}k=\ell$ ist und wenn es ein ${}s$, ${}0\leq s<k$, derart gibt, dass

$a_{k-1}=b_{k-1},\ldots ,a_{s+1}=b_{s+1},a_{s}>b_{s}$

ist.

Beweis

Dies folgt aus Fakt. Vom Zählprozess her ist es klar, dass längere Ziffernfolgen größer sind. Bei gleichlangen Ziffernfolgen und übereinstimmender Anfangssequenz entscheidet die nächste Ziffer, welche Zahl im Zählprozess später dran kommt.

$\Box$