Nilpotente Abbildung/Kern eindimensional/Surjektivität/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von ${}\varphi$ sei eindimensional. Es sei

${}V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,$

und ${}s$ die minimale Zahl mit

${}\varphi ^{s}=0\,.$

1. Zeige, dass alle ${}V_{i}$, ${}1\leq i\leq s$, eine direkte Zerlegung

   ${}V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$

   mit ${}U_{i}$ eindimensional haben.

2. Zeige, dass die Einschränkungen

   $\varphi \colon U_{i}\longrightarrow V_{i-1}$

   für ${}1<i<s$ bijektiv sind.

3. Zeige, dass ${}s$ mit der Dimension von ${}V$ übereinstimmt.

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