Beweis
Sei
und sei vorausgesetzt, dass
nicht zu
gehört. Dann gibt es nach
Fakt
auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal
assoziiertes Primideal
mit
.
Es ist also
das Annullatorideal zu einem Element
modulo dem Hauptideal
. Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass
das maximale Ideal von
ist. Wir betrachten den
-Untermodul
-
![{\displaystyle {}N={\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {p}}\subseteq R\right\}}\subseteq Q(R)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908b4b1ddb0d2fa68ae15918e5efdefcafb84769)
Dabei gilt
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}N\subseteq R\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273f461f7f6c1c9eb39fbee3531ff1f764a21e47)
Wegen der Maximalität von
ist
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}N\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637b87b5ce0c31f5ba2fefff0e2384e6b2bc551d)
oder
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}N=R\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9bcee0bf67163b8dde86e659c179844ad72bf1)
Im ersten Fall folgt aus
Fakt,
dass die Elemente aus
ganz über
sind. Wegen der Normalität von
folgt
.
Wegen
ist auch
,
also
-
![{\displaystyle {}{\frac {x}{y}}\in N=R\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe221e77fa25731d444d7dfb30fdf143cc828fc)
ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall,
,
vor. Doch dann muss es Elemente
und
mit
-
![{\displaystyle {}aq=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efd56d8e81e456387ec7eaed3b79445bf10cffc)
geben. Für
ist dann
,
also
und damit ist
ein Hauptideal. Nach
Fakt
ist
ein
diskreter Bewertungsring
und
besitzt die Höhe
.