Beweis
Sei
und sei vorausgesetzt, dass
nicht zu
gehört. Dann gibt es nach
Fakt
auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal
assoziiertes Primideal
mit
.
Es ist also
das Annullatorideal zu einem Element
modulo dem Hauptideal
. Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass
das maximale Ideal von
ist. Wir betrachten den
-Untermodul
-

Dabei gilt
-

Wegen der Maximalität von
ist
-

oder
-

Im ersten Fall folgt aus
Fakt,
dass die Elemente aus
ganz über
sind. Wegen der Normalität von
folgt
.
Wegen
ist auch
,
also
-

ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall,
,
vor. Doch dann muss es Elemente
und
mit
-

geben. Für
ist dann
,
also
und damit ist
ein Hauptideal. Nach
Fakt
ist
ein
diskreter Bewertungsring
und
besitzt die Höhe
.