Normaler noetherscher Bereich/Durchschnitt/Lokalisierungen zur Höhe 1/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}f=g/h\in Q(R)$  und sei vorausgesetzt, dass ${}f$ nicht zu ${}R$ gehört. Dann gibt es nach Fakt auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal assoziiertes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit  ${}f\notin R_{\mathfrak {p}}$.  Es ist also ${}{\mathfrak {p}}$ das Annullatorideal zu einem Element ${}x$ modulo dem Hauptideal ${}(y)$. Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass ${}{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal von ${}R$ ist. Wir betrachten den ${}R$-Untermodul

${}N={\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {p}}\subseteq R\right\}}\subseteq Q(R)\,.$

Dabei gilt

${}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}N\subseteq R\,.$

Wegen der Maximalität von ${}{\mathfrak {p}}$ ist

${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}N\,$

oder

${}{\mathfrak {p}}N=R\,.$

Im ersten Fall folgt aus Fakt, dass die Elemente aus ${}N$ ganz über ${}R$ sind. Wegen der Normalität von ${}R$ folgt  ${}N=R$.  Wegen  ${}x{\mathfrak {p}}\subseteq (y)$  ist auch  ${}{\frac {x}{y}}{\mathfrak {p}}\subseteq R$,  also

${}{\frac {x}{y}}\in N=R\,,$

ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall,  ${}{\mathfrak {p}}N=R$,  vor. Doch dann muss es Elemente  ${}a\in {\mathfrak {p}}$  und  ${}q\in N$  mit

${}aq=1\,$

geben. Für  ${}b\in {\mathfrak {p}}$  ist dann  ${}bq=b/a\in R$,  also  ${}b\in (a)$  und damit ist  ${}{\mathfrak {p}}=(a)$  ein Hauptideal. Nach Fakt ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und ${}{\mathfrak {p}}$ besitzt die Höhe ${}1$.

Zur bewiesenen Aussage