Parametrisierte Kurve/Als riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurvenlänge/Beispiel

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Es sei ein offenes Intervall und

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall . Ferner sei angenommen, dass injektiv und dass das Bild von eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form von (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

Somit gilt bei für das Maß (also die Länge) von die Formel

Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.