Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Orientiert/Kanonische Volumenform/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension . Zu sei diejenige alternierende Form auf (bzw. das entsprechende Element aus ), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert zuordnet. Dann heißt die -Differentialform

die kanonische Volumenform auf .

Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf .



Lemma  

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei

eine orientierte Karte mit

offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und .

Dann ist

Für eine messbare Teilmenge ist

Beweis  

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform für jeden Punkt berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt und ist durch ihren Wert auf festgelegt. Es ist

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

Nach Fakt ist




Satz  

Es sei offen und sei eine -dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform versehen sei. Es sei offen und es sei

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge .

Dann ist eine Karte von , und auf gilt

Beweis  

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem . Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für

da ja der Tangentialraum das induzierte Skalarprodukt des trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.



Beispiel  

Es sei ein offenes Intervall und

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall . Ferner sei angenommen, dass injektiv und dass das Bild von eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form von (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

Somit gilt bei für das Maß (also die Länge) von die Formel

Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.




Korollar  

Es sei eine offene Teilmenge und

eine differenzierbare Funktion. Es sei

der Graph von .

Dann ist eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit, und für die kanonische Volumenform auf gilt

Beweis  

Die Abbildung

ist ein Diffeomorphismus zwischen und dem Graphen . Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von auf überträgt) eine kanonische Volumenform . Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von nach der -ten Variablen sind

Sei ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, so dass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge der Matrix bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

Es ist also mit . Mit können wir und insgesamt die Matrix als

schreiben. Daher beschreibt eine lineare Abbildung von nach , die durch faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest -dimensional ist. Nennen wir ihn . Wenn er die Dimension besitzt, so ist und ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Sei also . Dann ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert und bildet den -dimensionalen Eigenraum für zum Eigenwert . Insgesamt ist diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich .




Korollar  

Es sei eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge , die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform versehen sei. Es sei offen und es sei

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge . Die Koordinaten von seien und und wir setzen

Dann gilt auf

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.