Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Orientiert/Kanonische Volumenform/Textabschnitt

Definition

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Zu  $P\in M$  sei ${\omega }_P$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\stackrel{n}{\bigwedge }{T}_P^{\ast }M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform

$M⟶\stackrel{n}{\bigwedge }{T}^{\ast }M,P⟼{\omega }_P,$

die kanonische Volumenform auf $M$.

Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf $M$.

Lemma

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

$\alpha :U⟶V$

eine orientierte Karte mit  $V\subseteq {ℝ}^n$  offen mit Koordinaten $x_1,\dots ,x_n$ mit der metrischen Fundamentalmatrix  $G=(g_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$  und  $g=detG$. 

Dann ist

${\alpha }_{\ast }\omega =\sqrt{g}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n.$

Für eine messbare Teilmenge  $T\subseteq U$  ist

${\int }_T\omega ={\int }_{\alpha (T)}\sqrt{g}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n={\int }_{\alpha (T)}\sqrt{g}d{\lambda }^n.$

Beweis

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform ${\left({\alpha }^{-1}\right)}^{\ast }\omega$ für jeden Punkt  $Q\in V$  berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt $c_{Q}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n$ und ist durch ihren Wert auf $e_1\wedge \dots \wedge e_n$ festgelegt. Es ist

${\left({\alpha }^{-1}\right)}^{\ast }\omega (Q,e_1\wedge \dots \wedge e_n)=\omega ({\alpha }^{-1}(Q),T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_1)\wedge \dots \wedge T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_n)).$

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

$g_{ij}(Q)={⟨T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_i),T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_j)⟩}_{{\alpha }^{-1}(Q)}.$

Nach Fakt ist

$\begin{array}{cc}\omega ({\alpha }^{-1}(Q),T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_1)\wedge \dots \wedge T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_n))& ={(det{\left(⟨T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_i),T_Q\left({\alpha }^{-1}\right)(e_j)⟩\right)}_{1\le i,j\le n})}^{1/2}\\ & ={(det{(g_{ij}(Q))}_{1\le i,j\le n})}^{1/2}\\ & =\sqrt{g(Q)}.\end{array}$

$◻$

Satz

Es sei  $G\subseteq {ℝ}^m$  offen und sei  $M\subseteq G$  eine $n$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform $\omega$ versehen sei. Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen und es sei

$\phi :W⟶U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge  $U\subseteq M$. 

Dann ist ${\phi }^{-1}$ eine Karte von $M$, und auf $W$ gilt

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }\left(\omega {|}_U\right)& ={(det{\left(⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_i}\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_i}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_j}\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_j}\end{array}\right)⟩\right)}_{1\le i,j\le n})}^{1/2}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n\\ & ={(det{(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_i}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_j}+\cdots +\frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_i}\frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_j})}_{1\le i,j\le n})}^{1/2}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n.\end{array}$

Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem ${ℝ}^m$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für  $Q\in W$ 

$\begin{array}{cc}{g}_{ij}(Q)& ={⟨T_Q(\phi )(e_i),T_Q(\phi )(e_j)⟩}_{\phi (Q)}\\ & =⟨T_Q(\phi )(e_i),T_Q(\phi )(e_j)⟩\\ & =⟨{\left(D\phi \right)}_Q\left(e_i\right),{\left(D\phi \right)}_Q\left(e_j\right)⟩\\ & =⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_i}(Q)\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_i}(Q)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_j}(Q)\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_j}(Q)\end{array}\right)⟩,\end{array}$

da ja der Tangentialraum $T_{\phi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des ${ℝ}^m$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.

$◻$

Beispiel

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein offenes Intervall und

$\phi :I⟶{ℝ}^m$

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall  ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$.  Ferner sei angenommen, dass $\phi$ injektiv und dass das Bild  $M=\phi (I)$  von $I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge  $G\subseteq {ℝ}^m$  ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form $\omega$ von $M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }\omega & ={\left(⟨\left(\begin{array}{c}\phi {\text{'}}_1(t)\\ ⋮\\ \phi {\text{'}}_m(t)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\phi {\text{'}}_1(t)\\ ⋮\\ \phi {\text{'}}_m(t)\end{array}\right)⟩\right)}^{1/2}dt\\ & =\sqrt{(\phi {\text{'}}_1(t){)}^2+\cdots +(\phi {\text{'}}_m(t){)}^2}dt\\ & =\Vert {\phi }^{\prime }(t)\Vert dt.\end{array}$

Somit gilt bei  $I=]a,b[$  für das Maß (also die Länge) von $M$ die Formel

${\lambda }_M(M)={\int }_a^b\sqrt{(\phi {\text{'}}_1(t){)}^2+\cdots +(\phi {\text{'}}_m(t){)}^2}dt.$

Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.

Korollar

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge und

$\psi :W⟶ℝ$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

$M=\{(x_1,,\dots ,,x_n,\psi (x_1,\dots ,x_n))\mid (x_1,\dots ,x_n)\in W\}\subseteq W\times ℝ$

der Graph von $\psi$.

Dann ist $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit, und für die kanonische Volumenform $\omega$ auf $M$ gilt

$(\mathrm{Id}\times \psi {)}^{\ast }(\omega )={(1+\sum _{i=1}^n{\left(\frac{\partial \psi }{\partial x_i}\right)}^2)}^{1/2}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n.$

Beweis

Die Abbildung

$\phi =\mathrm{id}\times \psi :W⟶W\times ℝ,x⟼(x,\psi (x)),$

ist ein Diffeomorphismus zwischen $W$ und dem Graphen $M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $W\times ℝ$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von $W$ auf $M$ überträgt) eine kanonische Volumenform $\omega$. Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von $\phi$ nach der $i$-ten Variablen sind

$\frac{\partial \phi }{\partial x_i}=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ \frac{\partial \psi }{\partial x_i}\end{array}\right).$

Es sei  $Q\in W$  ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge $b_{ij}$ der Matrix $B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

$b_{ij}=⟨\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(Q),\frac{\partial \phi }{\partial x_j}(Q)⟩$

Wir schreiben  $B=E_n+A$  mit  $A={\left(a_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}$.  Mit  $c_i=\frac{\partial \psi }{\partial x_i}(Q)$  können wir  $a_{ij}=c_i{c}_j$  und insgesamt die Matrix $A$ als

$A=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)(c_1,\dots ,c_n)$

schreiben. Daher beschreibt $A$ eine lineare Abbildung von ${ℝ}^n$ nach ${ℝ}^n$, die durch $ℝ$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest $(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn $K$. Wenn er die Dimension $n$ besitzt, so ist  $A=0$  und $B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also  $A\ne 0$.  Dann ist  $v=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)$  ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert  $c_1^2+\cdots +c_n^2\ne 0$.  Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von $B$ zum Eigenwert $1+c_1^2+\cdots +c_n^2$ und $K$ bildet den $(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für $B$ zum Eigenwert $1$. Insgesamt ist $B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich $1+c_1^2+\cdots +c_n^2$.

$◻$

Korollar

Es sei  $M\subseteq G$  eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge  $G\subseteq {ℝ}^3$,  die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform $\omega$ versehen sei. Es sei  $W\subseteq {ℝ}^2$  offen und es sei

$\phi :W⟶U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge  $U\subseteq M$.  Die Koordinaten von ${ℝ}^2$ seien $u$ und $v$ und wir setzen

$E=⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial u}\\ \frac{\partial {\phi }_2}{\partial u}\\ \frac{\partial {\phi }_3}{\partial u}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial u}\\ \frac{\partial {\phi }_2}{\partial u}\\ \frac{\partial {\phi }_3}{\partial u}\end{array}\right)⟩,F=⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial u}\\ \frac{\partial {\phi }_2}{\partial u}\\ \frac{\partial {\phi }_3}{\partial u}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial v}\\ \frac{\partial {\phi }_2}{\partial v}\\ \frac{\partial {\phi }_3}{\partial v}\end{array}\right)⟩\text{ und }G=⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial v}\\ \frac{\partial {\phi }_2}{\partial v}\\ \frac{\partial {\phi }_3}{\partial v}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial v}\\ \frac{\partial {\phi }_2}{\partial v}\\ \frac{\partial {\phi }_3}{\partial v}\end{array}\right)⟩.$

Dann gilt auf $W$

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }\left(\omega {|}_U\right)& =\sqrt{EG-F^2}du\wedge dv\\ \end{array}$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$◻$