Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Orientiert/Kanonische Volumenform/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$-Differentialform

$M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf ${}M$.

Lemma

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine orientierte Karte mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$.

Dann ist

${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform ${}{\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt ${}Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt ${}c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf ${}e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist

${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

${}g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei ${}M\subseteq G$ eine ${}n$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$.

Dann ist ${}\varphi ^{-1}$ eine Karte von ${}M$, und auf ${}W$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.\end{aligned}}$

Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem ${}\mathbb {R} ^{m}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für ${}Q\in W$

${}{\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}$

da ja der Tangentialraum ${}T_{\varphi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{m}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall ${}\varphi '(t)\neq 0$. Ferner sei angenommen, dass ${}\varphi$ injektiv und dass das Bild ${}M=\varphi (I)$ von ${}I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form ${}\omega$ von ${}M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &={\left(\left\langle {\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}}\right\rangle \right)}^{1/2}dt\\&={\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}dt\\&=\Vert {\varphi '(t)}\Vert dt.\end{aligned}}$

Somit gilt bei ${}I={]a,b[}$ für das Maß (also die Länge) von ${}M$ die Formel

${}\lambda _{M}(M)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}\,dt\,.$

Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.

Korollar

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

$M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$

der Graph von ${}\psi$.

Dann ist ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit, und für die kanonische Volumenform ${}\omega$ auf ${}M$ gilt

${}(\operatorname {Id} \times \psi )^{*}(\omega )={\left(1+\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Beweis

Die Abbildung

$\varphi =\operatorname {id} \times \psi \colon W\longrightarrow W\times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x,\psi (x)),$

ist ein Diffeomorphismus zwischen ${}W$ und dem Graphen ${}M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}W\times \mathbb {R}$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von ${}W$ auf ${}M$ überträgt) eine kanonische Volumenform ${}\omega$. Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ nach der ${}i$-ten Variablen sind

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,.$

Es sei ${}Q\in W$ ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge ${}b_{ij}$ der Matrix ${}B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

${}b_{ij}=\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}(Q)\right\rangle \,$

Wir schreiben ${}B=E_{n}+A$ mit ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Mit ${}c_{i}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}(Q)$ können wir ${}a_{ij}=c_{i}c_{j}$ und insgesamt die Matrix ${}A$ als

${}A={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,$

schreiben. Daher beschreibt ${}A$ eine lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{n}$ nach ${}\mathbb {R} ^{n}$, die durch ${}\mathbb {R}$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest ${}(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn ${}K$. Wenn er die Dimension ${}n$ besitzt, so ist ${}A=0$ und ${}B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also ${}A\neq 0$. Dann ist ${}v={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von ${}A$ zum Eigenwert ${}c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}\neq 0$. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von ${}B$ zum Eigenwert ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ und ${}K$ bildet den ${}(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für ${}B$ zum Eigenwert ${}1$. Insgesamt ist ${}B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M\subseteq G$ eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$. Die Koordinaten von ${}\mathbb {R} ^{2}$ seien ${}u$ und ${}v$ und wir setzen

$E=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}}\right\rangle ,\,F=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\text{ und }}G=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle .$

Dann gilt auf ${}W$

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(\omega {|}_{U})&={\sqrt {EG-F^{2}}}du\wedge dv\\\end{aligned}}$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$