Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt

Multiplikation auf natürlichen Zahlen

Zur Definition der Multiplikation verwenden wir erneut das Prinzip der induktiven Definition. Zu einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir den Startwert ${}0$ und die durch die Addition mit ${}n$ definierte Abbildung ${}\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$.

Definition

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann definieren wir die Multiplikation mit ${}n$ als diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung

$\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$

für die

$\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$

gilt.

Damit definieren wir die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen ${}n,k\in \mathbb {N}$ durch

${}n\cdot k:=\mu _{n}(k)\,.$

Es gilt also ${}n\cdot 0=0$ und ${}n\cdot k^{\prime }=n\cdot k+n$. Diese beiden Eigenschaften legen bereits die Multiplikationsverknüpfung eindeutig fest.

Lemma

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

die

$x\cdot 0=0{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x\cdot y'=x\cdot y+x{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$

erfüllt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Multiplikation.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gilt

   ${}0\cdot n=0=n\cdot 0\,$

   für alle ${}n$,

2. Es gilt

   ${}1\cdot n=n=n\cdot 1\,$

   für alle ${}n$, d.h. ${}1=0^{\prime }$ ist das neutrale Element für die Multiplikation.

3. Es ist

   ${}n\cdot k'=n\cdot k+n=k'\cdot n\,$

   für alle ${}n,k\in \mathbb {N}$.

4. Die Multiplikation ist kommutativ.
5. Die Multiplikation ist assoziativ.
6. Aus einer Gleichung ${}n\cdot k=m\cdot k$ mit ${}k\neq 0$ folgt ${}n=m$ (Kürzungsregel).
7. Für beliebige ${}k,m,n\in \mathbb {N}$ gilt

   ${}k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n\,$

   (Distributivgesetz).

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$