Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt

Multiplikation auf natürlichen Zahlen

Zur Definition der Multiplikation verwenden wir erneut das Prinzip der induktiven Definition. Zu einer natürlichen Zahl $n\in \mathbb{N}$ betrachten wir den Startwert $0$ und die durch die Addition mit $n$ definierte Abbildung ${\alpha }_n:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$.

Definition

Es sei $(\mathbb{N},0{,}^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann definieren wir die Multiplikation mit $n$ als diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung

${\mu }_n:\mathbb{N}⟶\mathbb{N},k⟼{\mu }_n(k),$

für die

${\mu }_n(0)=0\text{ und }{\mu }_n(k^{\prime })={\mu }_n(k)+n\text{ für alle }k\in \mathbb{N}$

gilt.

Damit definieren wir die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen $n,k\in \mathbb{N}$ durch

$n\cdot k:={\mu }_n(k).$

Es gilt also  $n\cdot 0=0$  und  $n\cdot k^{\prime }=n\cdot k+n$.  Diese beiden Eigenschaften legen bereits die Multiplikationsverknüpfung eindeutig fest.

Lemma

Es sei $(\mathbb{N},0{,}^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung

$\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶\mathbb{N},(x,y)⟼x\cdot y,$

die

$x\cdot 0=0\text{ für alle }x\in \mathbb{N}\text{ und }x\cdot y^{\prime }=x\cdot y+x\text{ für alle }x,y\in \mathbb{N}$

erfüllt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Lemma

Es sei $(\mathbb{N},0{,}^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Multiplikation.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gilt

   $0\cdot n=0=n\cdot 0$

   für alle $n$,

2. Es gilt

   $1\cdot n=n=n\cdot 1$

   für alle $n$, d.h.  $1=0^{\prime }$  ist das neutrale Element für die Multiplikation.

3. Es ist

   $n\cdot k^{\prime }=n\cdot k+n=k^{\prime }\cdot n$

   für alle  $n,k\in \mathbb{N}$. 

4. Die Multiplikation ist kommutativ.
5. Die Multiplikation ist assoziativ.
6. Aus einer Gleichung  $n\cdot k=m\cdot k$  mit  $k\ne 0$  folgt  $n=m$  (Kürzungsregel).
7. Für beliebige  $k,m,n\in \mathbb{N}$  gilt

   $k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n$

   (Distributivgesetz).

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$