Permutationsgruppe/Anzahlberechnung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer Menge nennt man die Menge

der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu .

Eine bijektive Selbstabbildung nennt man auch eine Permutation. Für eine endliche Menge schreibt man . Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer (vollständigen) Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben.

Composicion de permutaciones.svg




Lemma  

Sei eine endliche Menge mit Elementen.

Dann besitzt die Permutationsgruppe genau Elemente.

Beweis  

Es sei . Für die gibt es mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt

mögliche Permutationen.




Lemma  

Sei eine Menge und eine Teilmenge.

Dann gibt es eine natürliche injektive Abbildung

wobei auf gleich und auf die Identität ist.

Mittels dieser Abbildung ist eine Untergruppe von .

Beweis  

Offenbar ist die Abbildung wohldefiniert. Sie ist injektiv, da aus sofort folgt, dass ist. Die Abbildung liefert eine Bijektion zwischen und der Menge der Permutationen auf , die fest lassen. Diese Permutationen bilden eine Untergruppe.