Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Konvergenz/Bemerkung

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall,  $U\subseteq V$  eine offene Menge und

$F:I\times U⟶V,(t,v)⟼F(t,v),$

ein Vektorfeld auf $U$. Es sei  $(t_0,w)\in I\times U$  eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen

${\phi }_n:I⟶V$

durch  ${\phi }_0=w$  (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert $w$) und durch

${\phi }_{n+1}(t)=w+{\int }_{t_0}^{t}F(s,{\phi }_n(s))ds.$

Dann gibt es ein Teilintervall  $]a,b[\subseteq I$  mit  $t_0\in ]a,b[$  derart, dass für  $t\in ]a,b[$  die Folge ${\phi }_n(t)$ gegen einen Punkt $\phi (t)$ konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion $\phi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(t_0)=w.$

Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz $I$.