Polynom/C nach C/Einschränkung/Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Aufgabe, der Grad von ${}F$ sei ${}n$. Wegen  ${}F'(Q)\neq 0$  für  ${}Q\notin N$  ist ${}F$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus N$ ein lokaler Homöomorphismus nach Aufgabe. Wir betrachten zu jedem Punkt  ${}P\in {\mathbb {C} }\setminus M$  das Urbild ${}F^{-1}(P)$. Dieses ist gegeben durch die Nullstellen von ${}F-P$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es eine Faktorisierung

${}F-P=c(Z-Q_{1})\cdots (Z-Q_{n})\,,$

wobei ${}Q_{i}$ die Urbilder sind. Wäre  ${}Q_{i}=Q_{j}$  für ein  ${}i\neq j$,  so wäre (mehrfache Nullstelle)

${}F'(Q_{i})=(F-P)'(Q_{i})=0\,.$

Die Nullstellen sind also alle verschieden und die Faseranzahl ist konstant gleich ${}n$.

Zur gelösten Aufgabe