Polynomring/Körper/1/Irreduzible Polynome/Textabschnitt

Die irreduziblen Elemente im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ sind nicht einfach zu charakterisieren. Die Antwort hängt auch wesentlich vom Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen.

Beispiel

Die Irreduzibilität eines Polynoms hängt wesentlich vom Grundkörper ab. Zum Beispiel ist das reelle Polynom  $X^2+1\in ℝ[X]$  irreduzibel, dagegen zerfällt es als Polynom in $ℂ[X]$ als

$X^2+1=(X+\mathrm{i})(X-\mathrm{i}).$

Ebenso ist das Polynom  $X^2-5\in \mathbb{Q}[X]$  irreduzibel, aber über $ℝ$ hat es die Zerlegung

$X^2-5=(X-\sqrt{5})(X+\sqrt{5}).$

Übrigens kann die Zerlegung über einem größeren Körper manchmal dazu benutzt werden, um zu zeigen, dass ein Polynom über dem gegebenen Körper irreduzibel ist.

Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher lineare Polynome, also Polynome von Typ $aX+b$, $a\ne 0$, stets irreduzibel. Eine notwendige Bedingung an die Irreduzibilität eines Polynoms  $P\in K[X]$  ist wegen Fakt, dass es keine Nullstelle in $K$ besitzt. Deshalb und aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra sind daher in $ℂ[X]$ die linearen Polynome die einzigen irreduziblen Polynome.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Dann ist ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel,

wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.

Beweis

In einer echten Primfaktorzerlegung von $P$, $\mathrm{grad}(P)\le 3$, muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom $X-a$ teilt aber nach Fakt das Polynom $P$ genau dann, wenn  $P(a)=0$  ist.

$◻$

Beispiel

Das Polynom $X^4+1$ ist im Reellen stets positiv und hat daher keine reelle Nullstelle. Daher besitzt es in $ℝ[X]$ nach Fakt auch keinen linearen Faktor. Wegen der Zerlegung

$X^4+1=(X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1)$

ist das Polynom aber nicht irreduzibel.