Polynomring/Körper/Krulldimension/Höhengleichheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}$. Dann zeigt einerseits die Primidealkette

${}0\subset {\left(X_{1}\right)}\subset {\left(X_{1},X_{2}\right)}\subset \ldots \subset {\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}\,,$

dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ zumindest ${}n$ ist. Da das Ideal ${}n$ Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus Fakt, dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ höchstens gleich ${}n$ ist. Die Höhe ist also genau ${}n$.

Wenn ein maximales Ideal der Form

${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\,$

(also ein Punktideal) mit ${}a_{i}\in K$ vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich ${}n$ ist (oder man arbeitet mit einem ${}K$-Algebraautomorphismus von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, der ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ überführt.). Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so sind wir nach Fakt fertig.

Wenn ${}K$ ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine ganze Körpererweiterung ${}K\subseteq {\overline {K}}$ mit ${}{\overline {K}}$ algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ist ebenfalls ganz. Sei ${}{\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach Fakt und Fakt ein maximales Punktideal

${}{\mathfrak {n}}\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,,$

das auf ${}{\mathfrak {m}}$ runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {n}}$ der Länge ${}n$ schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {m}}$ runter, sodass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ zumindest ${}n$ ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {m}}$ nach Fakt eine darüberliegende Primidealkette in ${}{\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Da eine solche maximal die Länge ${}n$ besitzt, ist die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ gleich ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage