Polynomring/R nach C/Zerlegungsverhalten/Beispiel

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Wir betrachten die Ringerweiterung . Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper vor, und ist der ganze Abschluss von in . Die Primideale von sind von der Form mit oder von der Form mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu . Die Primideale in sind alle von der Form mit .

In der Erweiterung liegt über dem Primideal das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist und die Restekörpererweiterung ist , der Trägheitsgrad ist also . Zu einem Primideal zu einem Polynom ohne reelle Nullstelle seien und die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In gilt die Idealzerlegung . Die Verzweigungsordnungen sind also und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also . Diese Primideale sind voll zerlegt.