Polynomring/R nach C/Zerlegungsverhalten/Beispiel

Wir betrachten die Ringerweiterung ${}\mathbb {R} [X]\subset {\mathbb {C} }[X]$. Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper ${}\mathbb {R} (X)\subset {\mathbb {C} }(X)$ vor, und ${}{\mathbb {C} }[X]$ ist der ganze Abschluss von ${}\mathbb {R} [X]$ in ${}{\mathbb {C} }(X)$. Die Primideale ${}\neq 0$ von ${}\mathbb {R} [X]$ sind von der Form ${}(X-a)$ mit ${}a\in \mathbb {R}$ oder von der Form ${}(X^{2}+bX+c)$ mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu ${}{\mathbb {C} }$. Die Primideale in ${}{\mathbb {C} }[X]$ sind alle von der Form ${}(X-a)$ mit ${}a\in {\mathbb {C} }$.

In der Erweiterung liegt über dem Primideal ${}(X-a)$ das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist ${}1$ und die Restekörpererweiterung ist ${}\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$, der Trägheitsgrad ist also ${}2$. Zu einem Primideal ${}(X^{2}+bX+c)$ zu einem reellen Polynom ohne reelle Nullstelle seien ${}z$ und ${}{\overline {z}}$ die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Idealzerlegung ${}(X^{2}+bX+c)=(X-z)(X-{\overline {z}})$. Die Verzweigungsordnungen sind also ${}1$ und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also ${}1$. Diese Primideale sind voll zerlegt.