Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Für die getwisteten Strukturgarben ergibt sich die Aussage aus Fakt. Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index . Wenn dieser oberhalb von liegt, so gibt es nach Fakt nur triviale Kohomologie (wenn endliche Dimension besitzt, so kann man auch mit Fakt argumentieren), was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach Fakt eine endliche direkte Summe und einen surjektiven -Modulhomomorphismus

Es sei der Kern dieser Abbildung, der nach Aufgabe

ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz zur Garbensequenz

ist

Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von -Moduln

Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind und endlich erzeugte -Moduln und daher sind auch und nach Fakt auch endlich erzeugt. Nach Fakt ist auch endlich erzeugt.

Zur bewiesenen Aussage