Beweis
Für die
getwisteten Strukturgarben
ergibt sich die Aussage aus
Fakt.
Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index
. Wenn dieser oberhalb von
liegt, so gibt es
nach Fakt
nur triviale Kohomologie
(wenn
endliche
Dimension
besitzt, so kann man auch mit
Fakt
argumentieren),
was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein
und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei
eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach
Fakt
eine endliche direkte Summe
und einen surjektiven
-Modulhomomorphismus
-
Es sei
der Kern dieser Abbildung, der
nach Aufgabe
ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz zur Garbensequenz
-
ist
-
Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von
-Moduln
-
Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind
und
endlich erzeugte
-Moduln und daher sind auch
und nach
Fakt
auch
endlich erzeugt. Nach
Fakt
ist auch
endlich erzeugt.