Beweis
Für die
getwisteten Strukturgarben
ergibt sich die Aussage aus
Fakt.
Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index . Wenn dieser oberhalb von liegt, so gibt es
nach Fakt
nur triviale Kohomologie
(wenn endliche
Dimension
besitzt, so kann man auch mit
Fakt
argumentieren),
was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach
Fakt
eine endliche direkte Summe und einen surjektiven
-Modulhomomorphismus
-
Es sei der Kern dieser Abbildung, der
nach Aufgabe
ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz zur Garbensequenz
-
ist
-
Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von -Moduln
-
Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind
und
endlich erzeugte -Moduln und daher sind auch und nach
Fakt
auch endlich erzeugt. Nach
Fakt
ist auch endlich erzeugt.