Punktierte Ebene/Koszul/Garbeninterpretation/Aufgabe

Es sei  $R=K[X,Y]$  der Polynomring über einem Körper $K$ mit dem maximalen Ideal  $𝔪=(X,Y)$.  Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln

$0\stackrel{}{⟶}R\stackrel{e\mapsto (Y,-X)}{⟶}{R}^2\stackrel{e_1\mapsto X,e_2\mapsto Y}{⟶}𝔪\stackrel{}{⟶}0.$

1. Formuliere die kurze exakte Garbensequenz der zugehörigen quasikohärenten Moduln auf  ${𝔸}_K^2=\mathrm{Spek}\left(R\right)$. 
2. Zeige, dass die Auswertung der Garbensequenz aus (1) auf  $U=D(X,Y)\subset {𝔸}_K^2$  nicht exakt ist.
3. Was ist das Bild unter dem verbindenen Homomorphismus von

   $1\in R=\Gamma (U,{𝒪}_X)=\Gamma (U,\widetilde{𝔪})$

   in $H^1(U,{𝒪}_X)$?

Eine Lösung erstellen