Punktierte Ebene/Koszul/Garbeninterpretation/Aufgabe

Es sei ${}R=K[X,Y]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {e\mapsto (Y,-X)}{\longrightarrow }}\,R^{2}\,{\stackrel {e_{1}\mapsto X,\,e_{2}\mapsto Y}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

1. Formuliere die kurze exakte Garbensequenz der zugehörigen quasikohärenten Moduln auf ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
2. Zeige, dass die Auswertung der Garbensequenz aus (1) auf ${}U=D(X,Y)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ nicht exakt ist.
3. Was ist das Bild unter dem verbindenen Homomorphismus von

   ${}1\in R=\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\Gamma {\left(U,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\right)}\,$

   in ${}H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})$?

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