R^3/Riemannsche orientierte Fläche/Levi-Civita-Zusammenhang und induzierter Zusammenhang/Fakt/Beweis

Beweis

Beide Zusammenhänge sind linear, daher genügt es, die Gleichheit der zugehörigen vertikalen Ableitungen lokal für Basisfelder zu zeigen. Sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und

$\varphi \colon V\longrightarrow U$

eine lokale zweifach stetig differenzierbare Parametrisierung einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq Y$. Es seien ${}\partial _{1},\partial _{2}$ die beiden konstanten Richtungsfelder auf ${}V$. Für den Levi-Civita-Zusammenhang ist

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{2}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}\,,$

wobei die Christoffelsymbole unter Bezug auf

${}g_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \,$

definiert sind. Nach Fakt erfüllen diese Christoffelsymbole auch die Bedingungen

${}\partial _{i}\partial _{j}\varphi =\Gamma _{ij}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ij}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{ij}N\,,$

wobei ${}N$ das Einheitsnormalenfeld bezeichnet und ${}h_{ij}$ die Einträge aus der zweiten Fundamentalmatrix sind (alles aufgefasst auf ${}V$).

Die Vektorfelder ${}\partial _{i}$ auf ${}V$ entsprechen auf ${}U\subseteq Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ den Vektorfeldern ${}{\left(\partial _{i}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}$. Nach Definition der vertikalen Ableitung zu dem eingeschränkten Zusammenhang muss man

$U{\stackrel {{\left(\partial _{i}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T{\left({\left(\partial _{j}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}\right)}}{\longrightarrow }}TTU{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}TU$

betrachten und dies ergibt die orthogonale Projektion von ${}{\left(\partial _{i}\partial _{j}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}$ auf das Tangentialbündel an ${}Y$, was mit ${}\Gamma _{ij}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ij}^{2}\partial _{2}\varphi$, aufgefasst über ${}U$, übereinstimmt (siehe hierzu auch Aufgabe).

Zur bewiesenen Aussage