Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Textabschnitt

Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$

konvergiert.

Lemma

Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen

konvergiert.

Beweis

Es sei  $ϵ>0$  vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle  $n\ge m\ge n_0$  die Abschätzung

$|\sum _{k=m}^n|a_k||=\sum _{k=m}^n|a_k|\le ϵ$

gilt. Daher ist

$|\sum _{k=m}^n{a}_k|\le |\sum _{k=m}^n|a_k||\le ϵ,$

was die Konvergenz bedeutet.

$◻$

Beispiel

Eine konvergente Reihe muss nicht absolut konvergieren, d.h. Fakt lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die alternierende harmonische Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots ,$

und zwar ist ihr Grenzwert $\ln 2$, was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel divergiert.

Die folgende Aussage heißt das Majorantenkriterium.

Lemma

Es sei $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen mit  $|a_k|\le b_k$  für alle $k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

absolut konvergent.

Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

$◻$

Beispiel

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\dots$

konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel heran, wo wir die Konvergenz von $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$ gezeigt haben. Für  $k\ge 2$  ist

$\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}.$

Daher konvergiert $\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$ und somit auch $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$. Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden (siehe Fakt) kann man zeigen, dass diese Summe gleich $\frac{{\pi }^2}{6}$ ist.