Reelle Reihen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

${}s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

Falls die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ als Folge der Partialsummen ${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei ${}k=0$, sondern bei einer anderen Zahl beginnt.

Beispiel

Wir wollen die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}$

berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die ${}n$-te Partialsumme angeben. Es ist

${}s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)}=1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}\,.$

Diese Folge konvergiert gegen ${}1$, sodass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich ${}1$ ist.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen ${}s$ und ${}t$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit ${}c_{k}:=a_{k}+b_{k}$ ist ebenfalls konvergent mit der Summe ${}s+t$.
2. Für ${}r\in \mathbb {R}$ ist auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ mit ${}d_{k}:=ra_{k}$ konvergent mit der Summe ${}rs$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle

${}n\geq m\geq n_{0}\,$

die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine konvergente Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.

Es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe zeigt.

Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.$

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots .$

Diese Reihe divergiert: Für die ${}2^{n}$ Zahlen ${}k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist

${}\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$

Daher ist

${}\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.

Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.

Die folgende Aussage heißt Leibnizkriterium für alternierende Reihen.

Satz

Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir setzen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$

Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes ${}n$ gilt wegen ${}x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung

${}s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$

d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen

${}s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$

Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Fakt konvergent. Wegen ${}s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ stimmen die Grenzwerte überein.

$\Box$