Reelle Reihen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe als Folge der Partialsummen auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei , sondern bei einer anderen Zahl beginnt.


Beispiel  

Wir wollen die Reihe

berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die -te Partialsumme angeben. Es ist

Diese Folge konvergiert gegen , so dass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich ist.




Lemma

Es seien

konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Reihe mit ist ebenfalls konvergent mit der Summe .
  2. Für ist auch die Reihe mit konvergent mit der Summe .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Lemma

Es sei

eine Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Lemma  

Es sei

eine konvergente Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.


Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.

Es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe zeigt.


Beispiel  

Die harmonische Reihe ist die Reihe

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

Diese Reihe divergiert: Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.


Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.

Die folgende Aussage heißt Leibnizkriterium für alternierende Reihen.


Satz  

Es sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe .

Beweis