Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt/Beweis

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Beweis

Zu jeder reellen Zahl in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges , , mit

da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von bilden. Bei kann man das als finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. mit ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge an, in dem liegt. Die Zahl gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass eine natürliche Zahl zwischen und ist, dass ist und dass

für jedes ist. Daher ist eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich sein.