Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jeder reellen Zahl ${}t\in [a,b[$ in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges ${}j$, ${}0\leq j\leq 9$, mit

${}t\in [a+{\frac {j}{10}}(b-a),a+{\frac {j+1}{10}}(b-a)[\,,$

da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von ${}[a,b[$ bilden. Bei ${}{[a,b[}=[0,1[$ kann man das ${}j$ als ${}j=\lfloor 10t\rfloor$ finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. ${}{\frac {z_{1}}{10}}$ mit ${}z_{1}=\lfloor 10s_{0}\rfloor$ ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge ${}{\frac {1}{10}}$, in dem ${}s_{0}$ liegt. Die Zahl ${}s_{1}=10s_{0}-z_{1}$ gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl ${}s_{0}$ von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass ${}z_{i}$ eine natürliche Zahl zwischen ${}0$ und ${}9$ ist, dass ${}s_{i}\in [0,1[$ ist und dass

${}x\in [\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i},\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+10^{-k}[\,$

für jedes ${}k$ ist. Daher ist ${}0,z_{1}z_{2}z_{3}...$ eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für ${}x$ vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich ${}x$ sein.

Zur bewiesenen Aussage