Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jeder reellen Zahl  $t\in [a,b[$  in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges $j$, $0\le j\le 9$, mit

$t\in [a+\frac{j}{10}(b-a),a+\frac{j+1}{10}(b-a)[,$

da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von $[a,b[$ bilden. Bei  $[a,b[=[0,1[$  kann man das $j$ als  $j=\lfloor 10t\rfloor$  finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. $\frac{z_1}{10}$ mit  $z_1=\lfloor 10s_0\rfloor$  ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge $\frac{1}{10}$, in dem $s_0$ liegt. Die Zahl  $s_1=10s_0-z_1$  gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl $s_0$ von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass $z_i$ eine natürliche Zahl zwischen $0$ und $9$ ist, dass  $s_i\in [0,1[$  ist und dass

$x\in [\sum _{i=1}^k{z}_{i}10^{-i},\sum _{i=1}^k{z}_{i}10^{-i}+10^{-k}[$

für jedes $k$ ist. Daher ist $0,z_1{z}_2{z}_3\mathrm{...}$ eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für $x$ vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich $x$ sein.

Zur bewiesenen Aussage