Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt

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Axiom  

Die reellen Zahlen erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.

  1. Für je zwei reelle Zahlen ist entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus folgt (für beliebige ).
  4. Aus und folgt (für beliebige ).
  5. Für jede reelle Zahl gibt es eine natürliche Zahl mit .

Die ersten beiden Eigenschaften drücken aus, dass auf eine totale (oder lineare) Ordnung vorliegt; die in (2) beschriebene Eigenschaft heißt Transitivität. Die fünfte Eigenschaft heißt Archimedes-Axiom.

Statt schreibt man auch . Die Schreibweise bedeutet und . Eine wichtige Beziehung in ist, dass äquivalent zu ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von bzw. aus dem dritten Axiom. Eine reelle Zahl nennt man positiv, wenn ist, und negativ, wenn ist. Die ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente  mit nennt man dann einfach nichtnegativ und die Elemente  mit nichtpositiv. Für die entsprechenden Teilmengen der reellen Zahlen schreibt man

oder Ähnliches.



Lemma

Für reelle Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. .
  2. Aus und folgt .
  3. Aus und folgt .
  4. Es ist .
  5. Aus folgt für alle .
  6. Aus folgt für ganze Zahlen .
  7. Aus folgt .
  8. Aus folgt .

Beweis

Siehe Aufgabe.


Das folgende Lemma fasst Folgerungen aus dem Archimedes-Axiom zusammen.



Lemma  

  1. Zu mit gibt es ein mit .
  2. Zu gibt es eine natürliche Zahl mit .
  3. Zu zwei reellen Zahlen gibt es auch eine rationale Zahl (mit ) mit

Beweis  

(1). Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Fakt  (2) auch .
(2). Es ist eine wohldefinierte, nach Fakt  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Fakt  (8) äquivalent zu


(3). Wegen ist und daher gibt es nach (2) ein mit . Wegen (1) gibt es auch ein mit . Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein mit . Nach Fakt  (3) gilt daher . Daher gibt es auch ein derart, dass

ist. Damit ist einerseits und andererseits

wie gewünscht.



Definition  

Für reelle Zahlen , , nennt man

    • das abgeschlossene Intervall.
    • das offene Intervall.
    • das linksseitig offene Intervall.
    • das rechtsseitig offene Intervall.

    Für das offene Intervall wird häufig auch geschrieben. Die Zahlen und heißen die Grenzen des Intervalls (oder Randpunkte des Intervalls), genauer spricht man von unterer und oberer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen (die man auch als halboffen bezeichnet) rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie verwendet. Dies bedeutet nicht, dass es in ein Element gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für .