Reeller und komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Einführung/Textabschnitt

Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorräume vorliegen.

Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, ${}x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität, Symmetrie und positive Definitheit.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},$

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Beispielsweise ist im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Standardskalarprodukt

${}\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\\6\end{pmatrix}}\right\rangle =3\cdot (-1)-5\cdot 4+2\cdot 6=-11\,.$

Definition

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ${}V$ ist jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf ${}U$ einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.

Im komplexen Fall sieht die Definition etwas anders aus. Es liegt keine Bilinearität und keine Symmetrie im strengen Sinne vor, sondern nur bis auf komplexe Konjugation. Diese Variante ist nötig, um die positive Definitheit zu sichern, auf der der Abstandsbegriff beruht.

Definition

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

   ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, ${}x,y_{1},y_{2}\in V$.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Definition

Das auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ durch

${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Wir werden die beiden Fälle parallel behandeln. Wenn man zu einem komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ den zugrunde liegenden reellen Vektorraum betrachten, so ist der Realteil des komplexen Skalarprodukts ein reelles Skalarprodukt, siehe Aufgabe. Daher kann man sich bei Abstandsfragen auf den reellen Fall konzentrieren.