Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x durch y/Beispiel

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Wir betrachten die differenzierbare Funktion

Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist

so dass die Funktion in jedem Punkt regulär ist und der Satz über implizite Abbildungen anwendbar ist. In diesem Fall kann man die Fasern auch direkt bestimmen. Die Bedingung

mit führt auf , so dass die Fasern der Abbildung die punktierten Geraden (d.h. ein Punkt ist rausgenommen) durch den Nullpunkt sind (außer der -Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist). Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach gegeben. Dass die Fasern unter dieser Divisionsabbildung (punktierte) Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern.

Der Tangentialraum in wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor selbst aufgespannt. Der Tangentialraum an ist hier also die Gerade, die durch und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt (bis auf den Nullpunkt) mit der Faser überein.